求齐次方程的通解(x ycosy x)dx-xcosy xdy=0

方程改写为dx/dy=1-2(x/y)^(1/2)令x/y=u,则x=uy,dx/dy=ydu/dy+u代入上式得ydu/dy+u=1-2u^(1/2),该方程可以分离变量,即du/(1-2√u-u)

dy/y=cosx/sinx*dxlny=ln(sin(x))+Cy=e^C*sin(x)y=C*sin(x)

令y=xu则y'=u+xu'代入原方程：x(u+xu')=xulnuxu'=u(lnu-1)du/[u(lnu-1)]=dx/xd(lnu)/(lnu-1)=dx/x积分：ln|lnu-1|=ln|x

（1）显然,y=0是原方程的解（2）若y≠0时,令y=xt,则dy=xdt+tdx代入原方程,化简得2dx/x=-dt/t^2==>2ln│x│=1/t+ln│C│(C是非零常数)==>x^2=Ce^

答：dy/dx=y/(x+y)取倒数：dx/dy=(x+y)/y把x看做是y的函数,y是自变量x'(y)=(x+y)/yyx'=x+y(x/y)'=x'/y-x/y^2=(yx'-x)/y^2=y/y

xdy+dx=e^ydxxdy=(e^y-1)dxdy/(e^y-1)=dx/x[-(e^y-1)+e^y]dy/(e^y-1)=dx/x-dy+e^ydy/(e^y-1)=dx/x∫[-1+（e^y

dy/dx=(y/x)*(lny-lnx)dy/dx==(y/x)ln(y/x)y/x=u,dy=xdu+udxxdu/dx+u=ulnudu/u(lnu-1)=dx/xln(lnu-1))=lnx+

基本上属于最简单的微分方程吧以下用大写F表示积分符号.属于y'+a(x)y=b(x)类型通解为：y=e^(-Fa(x)dx)[c+Fb(x)e^(Fa(x)dx)dx]对于本题,a(x)=1,b(x)

特征方程r+1=0r=-1因此齐次通解y=Ce^(-x)可以看出等号右边在通解里因此设特解是y=axe^(-x)y'=ae^(-x)-axe^(-x)代入原方程得ae^(-x)-axe^(-x)+ax

1.求微分方程(1+x²)y'=arctanx的通解(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得：dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx积分之,即得通解

y`+y=x典型的一阶线性微分方程y`+P(x)y=Q(x)利用公式y=e^(-∫Pdx)*(∫Qe^(∫Pdx)dx+C)所以通解为e^(-∫1dx)*(∫xe^(∫1dx)dx+C)=e^(-x)

xy'+y=lnx/x(xy)'=lnx/x积分：xy=∫lnxdx/xxy=∫lnxd(lnx)即：xy=1/2*ln²x+C

特征方程为a^2+a－2＝0,解为a＝1,－2,因此齐次方程通解是y=c1(e的x次方)+c2(e的-2x次方).再求非齐次方程的特解即可.因为右端函数8sin2x不是齐次方程的基础解系解,因此可直接

y²+x²dy/dx=xydy/dxy'=y²/(xy-x²)x'=(x/y)-(x/y)²令x/y=u,x=yux'=u+yu'u+yu'=u-u&

联立解方程组x+y=03x-3y-4=0解得：x=2/3,y=-2/3.令：X=x-2/3Y=y+2/3.则原方程为：(X+Y)dX+(3X-3Y)dY=0.即：dY/dX=(1+Y/X)/(3Y/X

第二题,可分离变量.方程两边同除以x得到y'-siny/x=y/x令y/x=u,dy/dx=u+xdu/dx所以u+xdu/dx-sinu-u=0

∵xy'-y-√(y-x)=0==>y'-y/x-√(y/x-1)=0∴设y=xt,则y'=xt'+t代入方程得xt'-√(t-1)=0==>dt/√(t-1)=dx/x==>ln(t+√(t-1))

令y=xuy'=u+xu'代入原方程：[x(u+xu')-xu]cos²u+x=0xu'cos²u+1=0cos²udu=-dx/x(1+cos2u)du=-2dx/x积

dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]令y/x=u,则y=ux,dy