求证I-A可逆.并写出逆矩阵表达式

A^3＝3A^2－3A－A^3＋3A^2－3A＝0－A^3＋3A^2－3A＋I＝I(I－A)^3＝I所以,(I－A)[(I－A)^2]＝I,即(I－A)(A^2－2A＋I)＝I,所以I－A可逆,且逆矩

（1）A^2-A-2I=0A^2-IA-2I=0A^2-IA=2IA（I-A）=2I把2除到左边去A逆=（I-A)/2(I-A)逆=I/2

因A^3+2A－3E=0变形A^3+2A=3E即A[1/3(A^2+2E)]=E也就是存在B=1/3(A^2+2E）使得AB=BA=E按定义知A可逆且逆矩阵A^(-1)=1/3(A^2+2E)

A(A+2I)=3I|A(A+2I)|=|A||A+2I|=3所以|A|不等于0且|A+2I|不等于0所以A和A+2I都可逆

直接求出逆阵就说明了其可逆了A^3+3A^2+3A+E=0A(-A^2-3A-3E)=E从而A的逆阵为-A^2-3A-3E

由A^2-A-2I=0得A(A-I)=2I所以A可逆,且A逆=(1/2)(A-I).由A^2-A-2I=0得(A-3I)(A+2I)=4I.所以A+2I可逆,且其逆为(-1/4)(A-3I)

(A+E)^3=A^3+3A^2+3A+E=0A(A^2+3A+3E)=-E所以A可逆,A^-1=-(A^2+3A+3E)

证明:因为A^2-2A+3I=0所以A(A-2I)=-3I所以A可逆,且A^-1=(-1/3)(A-2I).又由A^2-2A+3I=0得A(A-3I)+A-3I+6I=0所以(A-3I)(A+I)=-

容易验证:(A^-1)(A+B)(B^-1)=B^-1+A^-1.**由于可逆阵的逆阵可逆,可逆阵的乘积可逆,由上式知:A^-1+B^-1可逆.再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)由(*

因为:A^-1[(E+BA^-1)AB^-1]B==A^-1[AB^-1+E]B=E+A^-1B由于可逆阵之积仍为可逆阵,故知:(E+A^-1B)可逆,(AB^-1+E)可逆(按照积取逆的定理:(AB

因为A(A^(-1)+B^(-1))B=[E+AB^(-1)]B=B+A即(A^(-1)+B^(-1))=A^(-1)(B+A)B^(-1)因为A可逆,B可逆,A+B可逆所以得证.

A^2-2A+4I=0A^2-2A-3I=-7I(A+I)(A-3I)*(-1/7)=I所以A+I和A-3I都可逆,且A+I的逆矩阵为（3I-A）/7A-3I的逆矩阵为-（A+I）/7

题目告诉你(A+I)(A-3I)=I即A+I可逆且其逆为A-3I

证明：设A有特征值S,则A^k的特征值为S^k.（在线性代数的习题里有此类定理）.由A^k＝O可知：S^k=0（零矩阵的特征值只有0）.故S=0,可知I-A的特征值只有1,故|I-A|=1（对应的行列

|A-λE|=-1-λ333-1-λ333-1-λ=5-λ335-λ-1-λ35-λ3-1-λ=5-λ330-4-λ000-4-λ=(5-λ)(-4-λ)^2.A的特征值为5,-4,-4(A-5E)X

因为(E+A)(E--A+A^2--A^3+.+(--1)^(k--1)A^(k--1))=E+(--1)^(k--1)A^k=E,第一个等号是你按照分配率乘开后发现中间的项全消掉了.因此E+A可逆,

A*A-A+I=0所以A*（A-I）=-I所以|A*（A-I）|=|A|*|A-I|=|A|*|I-A|=|-I|0所以|A|,|I-A|都不等于0,所以A和I-A都可逆

A*(I+BA)=A+ABA=(I+AB)A(I+AB)的逆*A*(I+BA)=(I+AB)的逆*(I+AB)*A＝AB*(I+AB)的逆*A(I+BA)=BAI+B*(I+AB)的逆*A(I+BA)

证明:因为AA*=|A|E所以|A||A*|=||A|E|=|A|^n由A可逆,所以|A|≠0所以有|A*|=|A|^(n-1)且|A*|≠0所以A*可逆.