作业帮实数矩阵ATA特征值为非负实数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 10:19:53
首先,如果A正定,那么AB相似于A^{-1/2}ABA^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2},由惯性定理后者半正定,特征值非负.如果A半正定,那么t>0时A+tI正定,(A+tI)B的特征值非负
注意CC^TB相似于C^{-1}(CC^TB)C=C^TBC即可再问：条件没说A正定额。再答：没看清楚，不过好办，假定B正定，用上述方法得到AB的特征值是实数。若B奇异，取正定矩阵序列B_k=B+1/
对任一非零实列向量x,总有x^T(A^TA)x=(Ax)^T(Ax)>=0而实对称矩阵的特征值都是实数所以实对称矩阵A^TA的特征值都是非负实数
xi是复数的话,|xi|表示的是复数xi的模,等式不还是成立的嘛再问：如果xi=a-bi那么xi的共轭=a+bi，xi与xi的共轭的乘积=a2+2abi+b2而|xi|2=a2+b2，对吗？再答：xi
（1）y=x^(1/2)=√x,定义域x≥0,满足（2）y=2x^(-1/3)=2/[x^(1/3)]定义域x≠0,不满足（3）同（1）（4）y=(x²)^(1/3),定义域x∈R,不满足.
如果把一个实数当做一个1*1的矩阵的话,那么特征值就是他本身,特征向量就是[1],特征值是对矩阵而言的概念,必须是矩阵才会有特征值.
要用到两个性质：性质1：正交阵A的特征值λ的模|λ|是等于1的.性质2：如果λ是A特征值,则λ²是A²的特征值.还要用到Jordan标准型的相关知识.就可以证明了.详细见参考资料.
实矩阵的特征值不一定都是实数,只有实对称矩阵的特征值才保证是实数.复矩阵的特征值也可能有实数.例如[1i;-i1]的特征值就是0和2,两个都是实数.
（该结论仅限于实数范围,复数的需要把转置改成共轭转置）由于AtA是对称矩阵（（AtA）t=AtA））,而对称阵是半正定的当且仅当它的特征值均为非负实数,从而只需证明这个矩阵是半正定的,那么任取n维向量
1.1、x^2-(k+1)x+k=0,(x-k)(x-1)=0,x1=k>=0,x2=11.2、x=k代入2,k^3-k(k+2)+k=0,k1=0,k2=(1±√5)/2x=1代入2,k-(k+2)
0i-i0λ1=1,a1=(1,-i)'λ2=-1,a2=(1,i)'
证明:设λ是实对称矩阵A的特征值,α是A的属于特征值λ的特征向量即有A'=A,A共扼=A,Aα=λα,α≠0.考虑(α共扼)'Aα=(α共扼)'A'α=(Aα共扼)'α=((Aα)共扼)'α所以λ(α
不是还有个0,非负实数就是0和正实数
对,非负即半正定不过说正定不半正定的前提是对称矩阵
A^TA的特征值是A的奇异值的平方,与A的特征值没有很直接的联系
对于实对称阵A,一定存在可逆阵P,使得(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)其中a1,a2,...,an为A的特征值.对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,做列向量X=PY
因为x+y+z=1所以p=-3x+y+2z=2-5x-y,q=x-2y+4z=4-3x-6y两式连列求出x=1/27(8+q-6p),y=1/27(14-5q+3p)同理求出z=1/27(5+4q+3
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设x是任意的m维列向量,考察矩阵A=M*M^T(x^T)*A*x=(x^T)*(M*M^T)*x=[(M^T*x)^T]*(M^T*x)设(M^T*x)=(k1,k2,...,kn)^T,则上式变为：