如图AD⊥BC垂足为D∠B＝2∠C

已知BD=DEAB=AE∠AED=∠C+∠CAE=2∠C外角等于2个内角和所以∠CAE=∠C所以AE=CE等角等边所以AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC

取AB的中点E,连接DE、EM.因为,DE是Rt△ABD斜边上的中线,所以,DE=BE=(1/2)AB,可得：∠BDE=∠B.因为,EM是△ABC的中位线,所以,EM‖AC,可得：∠DME=∠C.因为

相切的位置：AD被EF平分.AD=1/2BC=EF.可知直径EF的一半（即半径）与EF到BC的距离相等.

在DC上截取DE=DB,连结AE∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD=AD,BD=DE∴⊿ADB≌⊿ADE﹙SAS﹚∴AB=AE,∠B=∠AED∵CD=DE+EC=AB+BD∴CE=AB=A

证明：∵∠B=60°,AD⊥BC,∴在RT△ABD中,∠BAD=30°,∴BD/BA=1/2.同理可得,BE/BC=1/2.又∵∠EBD=∠CBA,∴△DBE相似于△ABC,∴DE/AC=1/2.因此

过B作BC的垂线交CF的延长线于H.因为CE⊥AD所以∠FCD+∠CDA=90°又因为∠ACB=90°∠CAF+∠CDA=90°又因为∠FCD=∠CAF又因为AC=BC,∠ACD=∠CBH=90°所以

证明：取AC的中点N,连接DN、MN.∵BM=CMAN=CN∴MN∥ABMN=1/2AB∴∠NMC=∠B∵∠B=2∠C∴∠NMC=2∠C∵∠ADC=90°AN=CN∴DN=CN∴∠NDM=∠C∵∠ND

由题中可知,AB=AC,则三角形ABC为等腰直角三角形,则：角ACE=45度而角AED=62度,由于它也是角AEC的补角,因此可得：∠EAC=∠AED-∠ACE=17度

（I）由已知得tan∠BAD=13，tan∠CAD=12，∴tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=13+121−13×12=1，又∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=π4；（II）设BD=2t（

依题意∠BAC=180-∠B-∠C∵AE为∠BAC的平分线∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2(180-∠B-∠C)=90-1/2(∠B+∠C)∵AD⊥BC∴在三角形ABD中∠BAD=90-∠B∠DAE

在DC上截取DE=DB,连结AESAS得⊿ADB≌⊿ADE∴∠B=∠AED,AB=AE∵AB+BD=DC∴AE=EC∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C

在DC上截取DE=DB,连结AE∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD=AD,BD=DE∴⊿ADB≌⊿ADE﹙SAS﹚∴AB=AE,∠B=∠AED∵CD=DE+EC=AB+BD∴CE=AB=A

AB=√(4×4+2×2)=√20,BC=5,AC=√(1×1+2×2)=√5∵BC²=AB²+AC²∴△ABC是直角三角形

证明：∵∠BAC=90°∴∠C=90°-∠B又∵AD⊥BC∴∠BDC=∠ADC=90°∴∠BAD=90°-∠B∴∠BAD=∠C∴⊿BAD≌⊿ADC∴BD：AD=AD：DC∴AD²=BD·DC

∵∠C=45°,∠B=65°∴∠BAC=70°又∵AE平分∠BAC∴∠BAC=35°∵∠B=65°,AD⊥BC∴∠BAD=25°∴∠DAE=35°-25°=10°∴∠AED=80°

证明：延长CB至G,且使线段BG=AB；BG=AB=>△ABG为等腰△因∠ABC是△ABG的外角=>∠ABC=∠G+∠BAG=2∠G因BE是∠B的平分线=>∠EBC=∠G又因：AB+BD=DC则GB+

∵AD⊥BC∴RT△ABD中,∠B=60°,那么∠BAD=30°∴BD=1/2AB=1∴AD=√3∴RT△ADC中,∠C=45°那么AD=CD=√3∴AC=√(AD²+CD²)=√

AB+BD=DC证明：在DC上取一点E,使DE=DB得到：三角形ABD全等于三角形AED.即：AE=AB,BD=DE,角B=角AED又：角AED=角C+角EAC=角B=2角C所以,角C=角EAC即：A

∵∠BAC=105°，∠B=45°，∴∠C=180°-105°-45°=30°，又∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=22，∠B=45°，∴AD=BD=22×22=2，

∵∠B=32°，∠C=56°，∴∠BAC=92°．∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE=12∠BAC=46°，∴∠AED=∠B+∠BAE=78°．∵AD⊥BC，DF⊥AE，∴∠ADF=∠AED=7