如图 若o是三角形abc外一点

延长BQ直线与PC交于D延长BO直线AC交于E则BQOEF在一个平面内∵O、Q为三角形ABC和PBC的垂心∴BD⊥PC,BE⊥AC∵PA⊥平面ABC,BE在平面ABC内∴PA⊥BE∴BE⊥平面PAC,

PA⊥PB,PA⊥PC,且PB、PC交于P所以PA⊥平面PBC又因为BC在平面PBC内,所以PA⊥BC由于OA是PA在平面ABC内的射影,根据三垂线逆定理可得：BC⊥OA.同理,AB⊥OC,AC⊥OB

假设不是直角则PO不垂直于面ABC,则作P在面上的射影点Q,根据∠AOP=∠BOP=∠COP可以证明∠AOQ=∠BOQ=∠COQ.但这是不可能的.所以三个角都是直角.

看看吧

∵a+b+c=0∴a+b=-c即OA+OB=-OC取AB中点为P则OA+OB=2OP∴OC=-2OP∴C,O,P三点共线,且|OC|=2|OP|CP是中线,那么O是三角形的重心,a●b=b●c=c●a

证明AB+BC>OB+OC证：延长BO交AC于D因为AB+AD>BD=OB+OD,即AB+AD>OB+OD,又因为OD+DC>OC上述两不等式两边相加得：所以AB+AD+OD+DC>OC+OB+OD,

证明：延长BO,交AC于点D由“三角形两边之差小于第三边”,可得BD-AB＜ADOC-OD＜CD∵BD=OB+OD∴OB+OD-AB＜ADOC-OD＜CD以上两式相加,得OB-AB+OC＜AD+CD∴

证明：延长BO,∠AC于点D在△ABD中,AB+AD>OB+OD在△OCD中,OD+CD>OC两式相加可得AB+AD+OD+CD>OB+OD+OC∴AB+AC>OB+OC即OB+OC

一楼的错,应该是内心作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F连接OD,OE,OF由勾股定理得：OD＝OE＝OFO到三角形ABC的三边距离相等故O是内心

有图吗?发一个,再问：忘了..再答：证明ABBC>OBOC证：延长BO交AC于D因为ABAD>BD=OBOD，即ABAD>OBOD，又因为ODDC>OC上述两不等式两边相加得：所以ABADODDC>O

（1）：∵PA⊥PB,PA⊥PC∴PA⊥PBC∴PA⊥BC∵O是三角形ABC的垂心∴OA⊥BC,∴BC⊥AO同理AC⊥BO,AB⊥CO,∴OA⊥ABC得出结论（2）：延伸AO交BC与D,则AD⊥BC由

垂心证：已知PA垂直BC,且PO是平面ABC的垂线,即AO是PA在平面ABC内的射影,所以由三垂线定理逆定理得：AO垂直BC,同理,BO垂直AC.综上,点o为垂线焦点,即垂心.

A.延长AD,到E使OD=DE.那么向量OB+OC=OE=AD=2AO.要说明的话,因为2OA=-（OB+OC）,并OB+OC过点D.所以A,O,D共线.

相当于证明（BC+CA+AB)

P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求证：O是三角形ABC的内心.

(1)∵O是△ABC内一点,由∠BOC+∠OBC+∠OVB=180°,①又∠A+∠B+∠C=180°,②①-②得∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO,∴∠BOC＞∠A.（2）过O作OM‖AC交AB于M,

设BO延长线交AC于D点根据三角形两边之和大于第三边,有：AB+AD>BD=BO+ODOD+DC>OC将以上二式相加：AB+AD+OD+DC>BO+OD+OC消去OD：AB+AD+DC>OB+OC即A

设A,B,C坐标为（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3)点O坐标（x,y)OA+OB+OC=0x1-x+x2-x+x3-x=0y1-y+y2-y+y3-y=0x=(x1+x2+x3)/3y=(

过一点做三条直线,符合俩俩垂直的要求,只能是不在同一平面上的直线.可知,这是一个以三角形ABC为底,O为顶点,角AOB\BOC\COA都为90度的一个四面体.可知三角形ABC可以使任意形状的三角形.

延长BO交AC于D三角形ABD中,AB+AD>BD三角形CDO中,CD+OD>OC所以AB+AC>BD+CD>BO+CO直接画图就可以了,用三角函数只会越做越麻烦