作业帮试以下面的方程为例,叙述用分离变量法求解方程的步骤.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 02:00:40
试以下面的方程为例,叙述用分离变量法求解方程的步骤.
{Utt-a^2Uxx=0,Q={00
U|t=0=φ(x),0=
{Utt-a^2Uxx=0,Q={00
U|t=0=φ(x),0=
分离变量法：将未知函数U(x,y,z,t）分解成若干个一元函数的乘积.即U(x,y,z,t）=X(x)Y(y)Z(z)T(t),使得偏微分方程的求解转化为常微分方程的求解.
对于你的题目,我的解法是：
1.将U（x,t）分解成两个一元函数的乘积
U（x,t）=X（x）T（t)
带入方程有：
（X（x）T（t))t''=a^2（X（x）T（t)）x''
即 X（x）T''（t)=a^2X''（x）T（t)
整理 X''（x）/X（x）=T''（t)/a^2T（t)
令上式=m(待求)
则有：
X''（x）-mX（x）=0
T''（t) -ma^2T（t) =0
因为 U(0,t)=U(l,t)=0 ,t>0
所以 X(0)T(t)=0 X(l)T(t)=0
也即 X(0)=X(l)=0
2.求X（x）
X''（x）-mX（x）=0
X(0)=X(l)=0
讨论：
若m=0时,则X''（x）=0
X(x）=C+Dx （CD待求）
因为 X（0)=0 C=0
X（l）=0 C+Dl=0 D=0
所以 X（x）恒等于0 显然m=0不合适
若m>0时,X''（x）-mX（x）=0解此微分方程
特征方程为 r^2-m=0
r1=m^1/2 r2=-m^1/2
所以 X(x）=C e^(m^1/2x)+D e^(-m^1/2x)
带入初值有 X（0)=0 C=0
X（l）=0 D=0
所以 X（x）恒等于0 显然m>0也不合适
若m
对于你的题目,我的解法是：
1.将U（x,t）分解成两个一元函数的乘积
U（x,t）=X（x）T（t)
带入方程有：
（X（x）T（t))t''=a^2（X（x）T（t)）x''
即 X（x）T''（t)=a^2X''（x）T（t)
整理 X''（x）/X（x）=T''（t)/a^2T（t)
令上式=m(待求)
则有：
X''（x）-mX（x）=0
T''（t) -ma^2T（t) =0
因为 U(0,t)=U(l,t)=0 ,t>0
所以 X(0)T(t)=0 X(l)T(t)=0
也即 X(0)=X(l)=0
2.求X（x）
X''（x）-mX（x）=0
X(0)=X(l)=0
讨论：
若m=0时,则X''（x）=0
X(x）=C+Dx （CD待求）
因为 X（0)=0 C=0
X（l）=0 C+Dl=0 D=0
所以 X（x）恒等于0 显然m=0不合适
若m>0时,X''（x）-mX（x）=0解此微分方程
特征方程为 r^2-m=0
r1=m^1/2 r2=-m^1/2
所以 X(x）=C e^(m^1/2x)+D e^(-m^1/2x)
带入初值有 X（0)=0 C=0
X（l）=0 D=0
所以 X（x）恒等于0 显然m>0也不合适
若m