作业帮高中数学、图中第五题.要详细过程、谢谢〜
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 19:28:00
高中数学、图中第五题.要详细过程、谢谢〜
这题就是一个简单的均值不等式,让人整的忒复杂.
设直角边分别为 a、b ,则斜边为 √(a^2+b^2) ,
由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ,
因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) ,
解得 √(ab)
再问： 「由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ， 因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) 」 得到这个的前提是两个不等式最值相等。。就要证明和一定、两数相等时乘积最大。那么如何说明？
再问： 但如果我知道了（或者说可以直接使用的话）「和一定、两数相等时乘积最大」，我就不需要用均值不等式了。直接用勾股定理。
再答： 均值不等式除了能求出最值，顺便还能求出什么时候取最值，这个在均值定理中已经很清楚了。 「和一定、两数相等时乘积最大」正是均值定理的推论，当然可以直接引用。然而本题中，和不是定值，积也不是定值，仅是周长为定值，那就需要用均值不等式去转换，不能直接令 a=b 时用勾股定理，这在逻辑上是不成立的。
设直角边分别为 a、b ,则斜边为 √(a^2+b^2) ,
由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ,
因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) ,
解得 √(ab)
再问： 「由已知得 a+b+√(a^2+b^2)=8+4√2 ， 因此由均值不等式得 8+4√2>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*√(ab) 」 得到这个的前提是两个不等式最值相等。。就要证明和一定、两数相等时乘积最大。那么如何说明？
再问： 但如果我知道了（或者说可以直接使用的话）「和一定、两数相等时乘积最大」，我就不需要用均值不等式了。直接用勾股定理。
再答： 均值不等式除了能求出最值，顺便还能求出什么时候取最值，这个在均值定理中已经很清楚了。 「和一定、两数相等时乘积最大」正是均值定理的推论，当然可以直接引用。然而本题中，和不是定值，积也不是定值，仅是周长为定值，那就需要用均值不等式去转换，不能直接令 a=b 时用勾股定理，这在逻辑上是不成立的。