作业帮最小二乘估计中线性回归方程的系数公式 还有那个很扭的符号是什么意思
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 06:22:32
最小二乘估计中线性回归方程的系数公式 还有那个很扭的符号是什么意思
已知y与x有线性关系：y = ax + b (1)
但 a,b 未知!就可以根据x,y的 1组观测数据
x1,x2,.,xn
y1,y2,.,yn
用最小二乘法确定系数a,b完成直线拟合.
为此令误差的平方和：
Q=∑(i:1→n) [Yi-(aXi+b)]^2 (2)
取极小,即：
∂Q/∂a= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)](-xi)= 0 (3)
∂Q/∂b= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)] = 0 (4)
解出a ,b就确定了回归方程（1）.
其中：∑ 是求和的符号：含义是：∑ (i：1→n) ai = (a1+a2+...+an).
举一个最简单的例子：
就是通过原始的试验数据应用最小二乘法确定一个弹簧的倔强系数（或弹簧常数）.
为此设计一个实验：压缩弹簧3次,测得变形和受力如下表：
xi 弹簧变形(毫米) 1 2 3
yi 弹簧受力(千牛顿) 3.1 5.9 9.2
假定y与x之间成正比例关系：
y = k x (A)
构造一个误差函数：Q(k) = (y1-kx1)^2+ (y2-kx2)^2+ (y3-kx3)^2 (B)
注意(B)式中,只所含有一个未知参数,即弹簧常数k：
使误差函数Q(k)取极小值的k,就是我们要求的弹簧常数!Q(k)取极小值的条件是：
dQ / dk = 0
导出：2[(y1-kx1)(-x1)+ (y2-kx2)(-x2)+ (y3-kx3)(-x3)]=0
经整理得到：k(x1^2+x2^2+x3^2)=(x1y1+x2y2+x3y3) (C)
解出弹簧常数：k = (x1y1+x2y2+x3y3)/ (x1^2+x2^2+x3^2) (D)
代入原始数据(xi,yi)的值,
最后得到：k = 42.5/14 ≈3.0357
当有两个参数a、b时,复杂一点.
但 a,b 未知!就可以根据x,y的 1组观测数据
x1,x2,.,xn
y1,y2,.,yn
用最小二乘法确定系数a,b完成直线拟合.
为此令误差的平方和：
Q=∑(i:1→n) [Yi-(aXi+b)]^2 (2)
取极小,即：
∂Q/∂a= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)](-xi)= 0 (3)
∂Q/∂b= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)] = 0 (4)
解出a ,b就确定了回归方程（1）.
其中：∑ 是求和的符号：含义是：∑ (i：1→n) ai = (a1+a2+...+an).
举一个最简单的例子：
就是通过原始的试验数据应用最小二乘法确定一个弹簧的倔强系数（或弹簧常数）.
为此设计一个实验：压缩弹簧3次,测得变形和受力如下表：
xi 弹簧变形(毫米) 1 2 3
yi 弹簧受力(千牛顿) 3.1 5.9 9.2
假定y与x之间成正比例关系：
y = k x (A)
构造一个误差函数：Q(k) = (y1-kx1)^2+ (y2-kx2)^2+ (y3-kx3)^2 (B)
注意(B)式中,只所含有一个未知参数,即弹簧常数k：
使误差函数Q(k)取极小值的k,就是我们要求的弹簧常数!Q(k)取极小值的条件是：
dQ / dk = 0
导出：2[(y1-kx1)(-x1)+ (y2-kx2)(-x2)+ (y3-kx3)(-x3)]=0
经整理得到：k(x1^2+x2^2+x3^2)=(x1y1+x2y2+x3y3) (C)
解出弹簧常数：k = (x1y1+x2y2+x3y3)/ (x1^2+x2^2+x3^2) (D)
代入原始数据(xi,yi)的值,
最后得到：k = 42.5/14 ≈3.0357
当有两个参数a、b时,复杂一点.
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