矩阵为幂等矩阵的充要条件
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/19 06:27:46
矩阵为幂等矩阵的充要条件
已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A
已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A
此题甚易
首先,设A可逆,则rank(E-A)=0,A=E,命题成立
设E-A可逆,则rank A=0,A=0,命题成立
现设A不可逆,E-A不可逆.设映射α:X→AX,β:X→(E-A)X
由rank(A)+rank(E-A)=n知dim ker α+dim ker β=n.而ker α是AX=0的解空间,ker β是(E-A)X
=0的解空间,由此知A可对角化为diag(O,E),即存在可逆矩阵P,使得PAP-¹=diag(O,E)=C,
而C²=C,两边同时左乘P-¹右乘P可得A^2=A
首先,设A可逆,则rank(E-A)=0,A=E,命题成立
设E-A可逆,则rank A=0,A=0,命题成立
现设A不可逆,E-A不可逆.设映射α:X→AX,β:X→(E-A)X
由rank(A)+rank(E-A)=n知dim ker α+dim ker β=n.而ker α是AX=0的解空间,ker β是(E-A)X
=0的解空间,由此知A可对角化为diag(O,E),即存在可逆矩阵P,使得PAP-¹=diag(O,E)=C,
而C²=C,两边同时左乘P-¹右乘P可得A^2=A
矩阵为幂等矩阵的充要条件
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