讨论∫(积分上限1,下限0)(x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx的收敛性.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 19:54:58

化为二重积分来讨论：
∫[0->1](x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx
=∫[0->1]dx∫[q->p] x^(y-1) dy
=∫[q->p]dy∫[0->1] x^(y-1) dx
=∫[q->p] (1/y) dy
=ln|p|-ln|q|
故当p≠0或q≠0,或者p,q同时为0时,积分收敛
再问：表示重积分还没教，可以用其他方法吗
再答：用瑕积分的极限审敛法可以做若lim[x->1] [(x-1)^s]f(x)=L , 如果存在常数s∈(0,1)以及01] (s-1)(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q) + (x-1)^(s) * ((p-1)x^(p-1) - (q-1)x^(q-1)) 可以看出(x-1)^(s-1)在s∈(0,1)中是无穷项，于是我们只需要讨论(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q) 可以看出当p和q其中一个为0，另外一个不为0时(x^p-x^q)≠0，原式发散；而当p,q均为0，或均不为0时，原式变为0*∞的未定式：lim[x->1](x^p-x^q)/(x-1)^(1-s) =lim[x->1](px^(p-1)-qx^(q-1))/(1-s)(x-1)^(-s) =lim[x->1] [(1-s)(x-1)^s](px^(p-1)-qx^(q-1))=L 得到的值L∈[0,∞),故这时收敛综上：当p和q其中一个为0，另外一个不为0时，原式发散其余情况下原式收敛（上面的方法最后一步做错了，实际上ln|p|-ln|q|的收敛性也是这样的）
再问： 0应该也是瑕点吧，不用讨论它吗
再答： x=0的时候lnx=-∞, 1/lnx=0,而分子也等于0，故被积函数为0不需要讨论

讨论∫(积分上限1,下限0)(x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx的收敛性. 对参数p,q,讨论反常积分∫[x^p/(1+x^q)]dx的敛散性（积分下限为0,上限正无穷）讨论（上限正无穷,下限0）dx/(x^p√lnx) 收敛性定积分 ∫x*lnx*dx 上限e.下限1 定积分上限e 下限1 lnx / x dx 1》求广义积分∫上限+∞下限0 xe^(-x^2） dx 2》求积分 ∫上限1下限0 lnx dx (x/lnx)/(1+x^2)的平方 dx,上限2,下限1,求定积分 ∫(1+lnx)/x dx ∫ lnx/x dx 上限是E,下限是0 求定积分∫1/根号x*(lnx)^2dx 上限e^2下限1 求定积分上限e^2 下限1 ∫[lnx/根号x]dx 计算积分 ∫(上限1,下限0)dx∫(上限1,下限x)siny^2dy 求定积分 ∫1/x√lnx（1-lnx）dx 积分上限e^3/4 下限√e