作业帮再问刘老师一道证明题,麻烦您能回答啊!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 15:58:38
再问刘老师一道证明题,麻烦您能回答啊!
设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆,则A－1与A有相同的特征向量,若λ0为A的特征值,则
λ0-1为A-－1的特征值.
设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆,则A－1与A有相同的特征向量,若λ0为A的特征值,则
λ0-1为A-－1的特征值.
利用线性变换A和矩阵A的对应关系,可得：(1)由于A可逆,所以det(A)不等于0,又det(A)=所有特征值的乘积,所以A无0特征值；(2)设λ0为A的任意一个特征值,则由第一问知道λ0不等于0,且存在非零向量x使得Ax=λ0x,则有A^(-1)x=λ0^(-1)x,这说明x既是A的属于λ0的特征向量又是A^(-1)的属于λ0^(-1)的特征向量,也说明λ0^(-1)为A^(-1)的特征值.