P=P1+P2+...Pn;S=S1+S2+...Sn;证明Si/Pi=S/P时,∑Pi/P*log(Si/Pi)最大

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 07:55:46

P=P1+P2+...Pn;S=S1+S2+...Sn;证明Si/Pi=S/P时,∑Pi/P*log(Si/Pi)最大
最好能解释下这个指标的性质

首先你少了两个条件.第一是所有的Pi>0和Si>0,不然对数里面可能出现负数.第二是S/P必须固定不变（见下面的证明）,不然题目的结论就不对.
定义
pi = Pi/P
si = Si/S
则
∑pi = 1
∑si = 1
∑(Pi/P)*log(Si/Pi) = ∑pi*[log(si/pi)-log(S/P)] = ∑pi*log(si/pi) - log(S/P)
如果-log(S/P)固定不变（很重要的条件!）,则∑pi*log(si/pi)最大时,∑Pi/P*log(Si/Pi)也最大.
现在考虑
si = ai + bi * x
x为一任意变量.显然,∑ai = 1及∑bi = 0.注意这里bi是任意选取的,除了和为0之外没有任何其它限制.
∑pi*log(si/pi) = ∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]
对x求导,
d∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]/dx = ∑pi*bi/(ai+bi*x) = 0
假定此极值处为x=0,则
∑pi*bi/si = 0
因为bi是任意选取的,所以唯一的解是
pi/si = 常数 = ∑pi/∑si = 1
即∑Pi/P*log(Si/Pi)最大时Si/Pi=S/P.
再问：嗯前提条件是如您所说的那样。想再请教您两各问题，一是这个指标的值是如何随着Si/Pi的分布而变化的，理论上应该是与S/P偏离的越大值越小，但是如何描述这个偏离程度，以及这个偏离程度和指标取值间的关系呢？因为个人数学比较差，所以一直想不明白...另外这道题能否用最有规划做？多谢了！
再答：首先，这个极大值为-log(S/P)（因为log(si/pi)=0）。计算偏离幅度，需要用到二阶导数（因为一阶导数为0）。 d²∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]/dx² = -∑pi*bi²/(ai+bi*x)² 在极值处x=0，ai=pi，二阶导数简化成 d²∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]/dx² = -∑bi²/pi 于是，如果si = pi + bi*x则我们用二阶展开得到， ∑pi*log(si/pi) = -(1/2)*∑bi²x²/pi = -(1/2)*∑pi*(si/pi-1)² 因此， ∑Pi/P*log(Si/Pi) = -log(S/P) - (1/2)*∑(Pi/P)*[(Si/Pi)/(S/P)-1]² 第二项就是偏离程度了。最优规划通常都是线性规划。这道题是非线性的，我想不出如何用最优规划来做。

P=P1+P2+...Pn;S=S1+S2+...Sn;证明Si/Pi=S/P时,∑Pi/P*log(Si/Pi)最大 log((sin(5))^2)-3+pi=? log((sin(30))^2)-3+pi= 三角函数恒等变形证明sin( pi/3 ) + sin( 2*pi/3) + ...+ sin( n * pi/3)= int*p,*p1,*p2,*p=*p1,*p1=*p2,*p2=*p3哪里有错.另外p=p1,p1=p2,p2=p3呢 >> t=(0:pi/100:pi)'; x^2+(4+i)x+3+pi=0 有实数根,求p的值 x=0.9311+0.1007*sin(606.9696*t+pi/9)-0.1007*sin(156.5066*t+p 化简三角函数[sin(α+pi)*cos(pi+α)*cos(α+2pi)]/[tan(pi+α)*cos^3(-α-p cosa=4/5,a,p∈（0，pi/2)cos(a+p)=-4/5,cosp=? 公式结果是多少?重量=密度*体积=8.1*192*[(175/2）^2 *Pi -(175/2-40)^2* Pi] P 请帮忙用微积分证明一下椭圆面积S=pi*a*b