1-2002这2002个数中最多可取出多少个数,使得这些数中任意3个数的和都不能被7整除?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 20:27:27

此题可以归结为对余数的考察.
自然数中任意一个数除以7,其余数为0、1、2、3、4、5或6,那么可以根据余数的不同构造集合Sx（x=0、1、2、3、4、5或6）,Sx为除以7余数为x的集合,另外Sx也可以表示为集合Sx中的任何一个元素.
在这里,把1-2002这2002个数分为7个集合Sx,由于2002=7×286,可知这7个集合各有286个元素.
任取一个集合,比如S1,集合S1中任取三个数,那么这三个数之和除以7,余数为1×3=3；比如S2,集合S2中任取三个数,那么这三个数之和除以7,余数为2×3=6.
任取二个集合,比如S1和S2,其中在集合S1取两个数,在集合S2中取一个数,那么这三个数之和除以7,余数为1+1+2=4.
等等...
（这个可以自己检验下,有定理可查）
基于以上说明,回到此题：
任取一个集合Sx（x≠0）,以及集合S0中的2个数,以此构成一个组合S0(2)_Sx(286)（括号里的数表示取几个数）,这个组合满足题意.比如,组合S0(2)_S1(286)中取7、1、8,这三个数之和为16,除以7余数为2；取7、14、8,这三个数之和为29,除以7余数为1.比如,组合S0(2)_S5(286)中取7、5、12,这三个数之和为24,除以7余数为3.这一类组合共有6个,每个组合都有2+286=290个数.
（为什么集合S0只取2个数,这个Lz自己想了）
任取二个集合Sx、Sy（x≠0、y≠0、x≠y）,以此构成一个组合Sx(286)_Sy(286),那么满足题意的组合有S1_S2、S1_S4、S1_S6、S2_S4、S2_S5、S3_S4、S3_S5、S3_S6、S5_S6（那个“(286)”偷懒省略掉了）,这一类组合共有9个,每个组合都有286×2=572个数.
任取三个集合Sx、Sy、Sz（x≠0、y≠0、z≠0、x≠y≠z、x≠z）,以此构成一个组合Sx(286)_Sy(286)_Sz(286),经检验不存在这样的组合.
任取二个集合Sx、Sy（x≠0、y≠0、x≠y）,以及集合S0中的2个数,以此构成一个组合S0(2)_Sx(286)_Sy(286),那么满足题意的组合有S0_S1_S2、S0_S1_S4、S0_S2_S4、S0_S3_S5、S0_S3_S6,这一类组合共有5个,每个组合都有286×2+2=574个数.
当然,还有很多其他类型的组合,这里就不全列举了.
下一步的工作,就是如何去组合余数,使得构造的这个组合有更多的元素.
最后,得到S0_S1_S2、S0_S1_S4、S0_S2_S4、S0_S3_S5、S0_S3_S6,这一类组合的元素最多,574个.
OVER...