已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/（anSn-Sn^2）=1(n大于等于2）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 12:34:53

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/（anSn-Sn^2）=1(n大于等于2）
（1）证明数列{1/Sn}成等差数列,并求Sn
(2)求数列{an}的通项公式

由题意知：2an/[anSn-(Sn)²]=1（n>1）
则：(Sn)²-anSn+2an=0（n>1）
又因为：an=Sn-S(n-1)（n>1）
所以：(Sn)²-[Sn-S(n-1)]Sn+2[Sn-S(n-1)]=0
展开化简：S(n-1)Sn+2Sn-2S(n-1)=0
两边同除以S(n-1)Sn,得：1+2/S(n-1)-2/Sn=0
即：(1/Sn)-[1/S(n-1)]=1/2（n>1）
所以：数列{1/Sn}是以1/S2为首项,公差为1/2的等差数列
当n=2时,(S2)²-a2S2+2a2=0
即：(a1+a2)²-a2(a1+a2)+2a2=0且a1=1
(1+a2)²-a2(1+a2)+2a2=0
化简得：a2=-1/3
所以：S2=a1+a2=1+(-1/3)=2/3
因此：1/Sn=1/S2+(n-2)*(1/2)=3/2+(n-2)*(1/2)=(n+1)/2（n>1）
则：Sn=2/(n+1)（n>1）
当n=1时,S1=2/(1+1)=1=a1
所以：Sn=2/(n+1)
因为：2an/[anSn-(Sn)²]=1（n>1）
则：an=(Sn)²/(Sn-2)=[2/(n+1)]²/{[2/(n+1)]-2}=-2/[n*(n+1)]（n>1）
当n=1时,a1=1不满足上式
所以：
an=a1（n=1）
an=-2/[n*(n+1)]（n>1）

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/（anSn-Sn^2）=1(n大于等于2）已知数列{an}的前n项和满足a1=1/2,an=-Sn*S(n-1),(n大于或等于2）,求an,Sn 已知数列an首相a1=3,通项an和前n项和SN之间满足2an=Sn*Sn-1（n大于等于2）已知数列的前N项和为SN,A1=2,2sn的平方=2ansn-an(n≥2）求an和sn 已知数列an的前n项和为sn,且满足an=2sn-1sn（n大于等于2） a1=1求an的表达式已知数列{an}中,a1=2,Sn为数列{an}的前n项和,且有关系式2Sn的平方=2anSn-an（n大于等于2）,求已知数列{an}的前N项和为Sn与an满足：an,Sn,Sn-1/2（n大于2）成等比数列,且a1=1,求Sn 已知数列An的前n项和Sn满足An+2Sn*Sn-1=0,n大于等于2,A1=1/2,求An. 已知数列an的前n项和为sn,且满足sn=n²an-n²（n-1）,a1=1/2 已知等差数列{an}的前N项和为Sn,a1=-2/3,满足Sn+1/Sn+2=an（n大于等于2）已知等差数列{an}的前N项和为Sn,a1=-2/3,满足Sn+1/Sn+2=an（n大于等于2）, 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn·Sn-1（n大于等于2,Sn不为0）,a1=2/9 求{an}的通项公式