设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 11:43:58

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/2^n}的前n项和Tn.

1、
√S1=√a1
√S2=√(a1+a2)=√a1+2 (1)
√S3=√(a1+a2+a3)=√(3a2)=√a1+4 (2)
由(1)得
a1+a2=a1+4√a1+4
√a1=(a2-4)/4
代入(2)
√(3a2)=(a2-4)/4 +4
整理,得
a2²-24a2+144=0
(a2-12)²=0
a2=12
a1=(a2-4)²/16=(12-4)²/16=4
√S1=√a1=2
√Sn=√S1+2(n-1)=2+2(n-1)=2n
Sn=4n² Sn-1=4(n-1)²
an=Sn-Sn-1=4n²-4(n-1)²=8n-4
n=1时,a1=8-4=4,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=8n-4.
2、
an/2^n=(8n-4)/2^n=8n/2^n-4/2^n
Tn=a1/2^1+a2/2^2+...+an/2^n
=8(1/2^1+2/2^2+...+n/2^n)-4(1/2+1/2^2+...+1/2^n)
令Cn=1/2^1+2/2^2+...n/2^n
则Cn/2=1/2^2+2/2^3+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2+1/2^2+...+1/2^n-n/2^(n+1)=(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
Cn=2-1/2^(n-1)-n/2^n
Tn=8[2-1/2^(n-1)-n/2^n]-4(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)
=12-1/2^(n-4)-n/2^(n-3)+1/2^(n-2)
一楼解答错误,a1是可以求出来的.