作业帮向量内积分配律证明如题,厚雄哥上没证明饿
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 19:43:14
向量内积分配律证明
如题,厚雄哥上没证明饿
如题,厚雄哥上没证明饿
向量A*B的意义是向量A的数量乘以向量B在向量A的方向上的投影的数量的大小,这样明确其数学意义我们就可以证明了.将向量A 和向量 B+C 的始点移动到同一点,过向量B的终点做垂直于向量A的平面1,则平面1与向量A的始点之间的距离就是向量B在向量A的方向上的投影的数量,同理在向量C的终点做垂直向量A的平面2,那么在平面1和平面2之间的距离就是向量C在向量A的方向上的投影的数量,而且在平面2和向量A的始点之间的距离就是向量 B+C 在向量A的方向上的投影的数量,这样由这三个投影之间的简单关系就知道 A*（B+C）=A*B+A*C
再问： 那个。。没看懂啊，平面1和平面2是什么东西？如果有条件的话能画个图讲解吗？有加分
再答： 我不会作图啊，不好意思！你看看下面的内容，看会了不？实际上只要会使用就行。不需要证明。 三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。 下面把向量外积定义为： a × b = |a|·|b|·Sin. 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a × b = - b × a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)·c = a·c + b·c. 这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明： i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。 从而就推出： ii) (a×b)·c = a·(b×c) 所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c). 由i)还可以推出： iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有 r·(a×(b + c)) = (r×a)·(b + c) = (r×a)·b + (r×a)·c = r·(a×b) + r·(a×c) = r·(a×b + a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0 这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即 a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 所以有 a×(b + c) = a×b + a×c. 证毕。
再问： 那个。。没看懂啊，平面1和平面2是什么东西？如果有条件的话能画个图讲解吗？有加分
再答： 我不会作图啊，不好意思！你看看下面的内容，看会了不？实际上只要会使用就行。不需要证明。 三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。 下面把向量外积定义为： a × b = |a|·|b|·Sin. 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a × b = - b × a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)·c = a·c + b·c. 这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明： i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。 从而就推出： ii) (a×b)·c = a·(b×c) 所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c). 由i)还可以推出： iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有 r·(a×(b + c)) = (r×a)·(b + c) = (r×a)·b + (r×a)·c = r·(a×b) + r·(a×c) = r·(a×b + a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0 这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即 a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 所以有 a×(b + c) = a×b + a×c. 证毕。