这是爱因斯坦作过的一道秘的数学题,令无数科学家头痛的一道题,令无数数学爱好者费解,可是它的实际结果却与数学运算结果有很大

这是爱因斯坦作过的一道秘的数学题,令无数科学家头痛的一道题,令无数数学爱好者费解,可是它的实际结果却与数学运算结果有很大区别,再一次挑战了人类思维中的“数学”模式.就是这道题,令爱因斯坦声名大造.以至成为世界上最伟大的科学家之一.题如下：一辆汽车行驶过一座拱桥,拱桥上坡下坡路程是一样远的.汽车行驶拱桥上坡时时速为6里,下坡时为12里.问：它的平均速度是多少?

这里说得上桥速度和下桥速度应该都是瞬时速度而不是平均速度,否则这道题就没什么做头了.咋一看好像什么条件都没有,比如说加速度啊,坡顶的速度啊,坡长或者坡度之类的统统不知道.所以这是一道开放性的题目,最终应该没有一个准确的答案吧,因为我用积分大概证了一下,这个模型中平均速度好像是有个极限的,所以要分几种情况,然后看结果有没有共性.数学建模中学过,面对一个现实问题,应该在可行的基础上,从简单的情况入手,所以我大概想了下：首先,整体都是匀速运动是不可能实现的,因为存在摩擦.上坡时接近匀速倒是可能的,因为只要挂一个合适的档位,使发动机提供的驱动力（沿坡方向向上）等于或者接近于阻力（由两个力合成：1.重力的分力--随坡度变化而变化,但先讨论固定体系,所以看作常数；2.动摩擦力,这里也看作常数）所以我提出的第一种假设是：a.上坡匀速,然后下坡纯粹靠重力加速度的分量加速,也就是说上坡平均速度为6,然后下坡是一个匀加速过程,初速度也是6,终止速度（或者叫终态速度,也就是最后的速度）是12,加速度恒为A=g*sin a(g：重力加速度；a:坡度).设上下坡路程都是s,中点（就是坡顶）速度为v=6,上坡速度t(1),下坡速度t(2).由此有：t(1)=s/6,t(2)=(12-6)/A=6/A,s=(12*12-6*6)/2A=54/A 平均速度V=2s/[t(1)+t(2)]=2s/[(s/6)+(6/A)]=12sA/(sA+36)=12/[1+(36/sA)]=12*54/90=7.2 也就是说在这个假设下,无论走多长的路、坡度为多少,平均速度都是个定值,恒等于7.2 第二种假设：上面讨论中有一段是匀速的,现在讨论的比刚才深一点点,是恒加速的情况 b.设加速度从始至终都不变,为A.如果先忽略重力加速度在其中的关系的话,无论上下坡还是直线,都是一样的情况.假设的各个量的符号与上面相同.t=(12-6)/A,s=（12*12-6*6）/2A=54/A,所以V=s/t=9,这个答案好像很有说服性,因为这里路程的大小不会对结果产生影响,而且其中只引入了一个加速度,所以应该是个极限之类的特殊值.注意：这跟直接用（12+6）/2算出来的结果是一样的.现在讨论这种情况下其他物理量的具体数值（或者取值的范围）,这样的话,也许就可以通过得出的结果,来判断9这个答案究竟有没有和现实中某些定量产生矛盾.中点速度为v,有于前半段路程与后半段相等,所以有等式：s(1)=s(2) (v*v-6*6)/2A=(12*12-v*v)/2A v*v=54,v=7.35 另:如果一辆汽车以6里速度上桥,那么6里这个速度一定是受了地心引力的缘故减慢了的速度,所以必定要算出这力,这样再加上下桥的12里的速度才能求解.此时加速度是变化的.要分段对时间求导.结果就是7.5了.