三角形ABC的外接圆O连接AO交BC于D,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 00:03:18
三角形ABC的外接圆O连接AO交BC于D,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2/R
对于这样的问题该怎么来回答?请有心人帮帮忙做做.
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设O为锐角△ABC的外心,R为△ABC的外接圆半径,AO,BO,CO的延长线分别交BC,CA,AB于点D,E,F,求证:(1/AD)+(1/BE)+(1/CF)=(2/R)
证明 设K,M,N分别是锐角△ABC边BC,CA,AB上的中点,连OK,OM,ON.
∵AO=BO=CO=R,OK=R*cosA,OM=R*cosB,ON=R*cosC.
∠DOK=|(B-C)|,∠EOM=|(C-A)|,∠FON=|(A-B)|.
∴AD=AO+OK/cos(B-C)=R+R*cosA/cos(B-C)
=2R*sinB*sinC/cos(B-C).
同样可得:
BE=2R*sinC*sinA/cos(C-A);
CF=2R*sinA*sinB/cos(A-B).
故 1/AD+1/BE+1/CF
=[1/(2R)]*[cos(B-C)/sinB*sinC+cos(C-A)/sinC*sinA+cos(A-B)/sinA*sinB]
=[1/(2R)]*[cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB+3]
=[1/((2R)]*(1+3)=2/R
最后一步用到恒等式:
cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB=1.
另一种证法
设ha,hb,hc分别是△ABC边BC,CA,AB上的高,BC=a,CA=b,AB=c,S表示其面积.
∵1/AD=cos(B-C)/ha,1/BE=cos(C-A)/hb,1/CF=cos(A-B)/hc
S=(sinA*bc)/2=2R^2*4sinA*sinB*sinC
∴1/AD+1/BE+1/CF
=a*cos(B-C)/(2S)+b*cos(C-A)/(2S)+c*cos(A-B)/(2S)
=[a*cos(B-C)+b*cos(C-A)+c*cos(A-B)]/(2S)
=R*[sinA*con(B-C)+sinB*cos(C-A)+sinC*cos(A-B)]/S
=(R/S)*[sin(B+C)*con(B-C)+sin(C+A)*cos(C-A)+sin(A+B)*cos(A-B)]
=(R/S)*[sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)
=(R/S)*[4sinA*sinB*sinC]
=(R/S)*[S/(2R^2)]=2/R.
证明 设K,M,N分别是锐角△ABC边BC,CA,AB上的中点,连OK,OM,ON.
∵AO=BO=CO=R,OK=R*cosA,OM=R*cosB,ON=R*cosC.
∠DOK=|(B-C)|,∠EOM=|(C-A)|,∠FON=|(A-B)|.
∴AD=AO+OK/cos(B-C)=R+R*cosA/cos(B-C)
=2R*sinB*sinC/cos(B-C).
同样可得:
BE=2R*sinC*sinA/cos(C-A);
CF=2R*sinA*sinB/cos(A-B).
故 1/AD+1/BE+1/CF
=[1/(2R)]*[cos(B-C)/sinB*sinC+cos(C-A)/sinC*sinA+cos(A-B)/sinA*sinB]
=[1/(2R)]*[cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB+3]
=[1/((2R)]*(1+3)=2/R
最后一步用到恒等式:
cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB=1.
另一种证法
设ha,hb,hc分别是△ABC边BC,CA,AB上的高,BC=a,CA=b,AB=c,S表示其面积.
∵1/AD=cos(B-C)/ha,1/BE=cos(C-A)/hb,1/CF=cos(A-B)/hc
S=(sinA*bc)/2=2R^2*4sinA*sinB*sinC
∴1/AD+1/BE+1/CF
=a*cos(B-C)/(2S)+b*cos(C-A)/(2S)+c*cos(A-B)/(2S)
=[a*cos(B-C)+b*cos(C-A)+c*cos(A-B)]/(2S)
=R*[sinA*con(B-C)+sinB*cos(C-A)+sinC*cos(A-B)]/S
=(R/S)*[sin(B+C)*con(B-C)+sin(C+A)*cos(C-A)+sin(A+B)*cos(A-B)]
=(R/S)*[sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)
=(R/S)*[4sinA*sinB*sinC]
=(R/S)*[S/(2R^2)]=2/R.
三角形ABC的外接圆O连接AO交BC于D,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2
三角形ABC的外接圆O,连接AO交BC于E,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=
圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R
三角形ABC内接于圆O,连接AO并延长交圆O于点E,过点A做AD垂直BC于D(1)求证∠EAB=∠CAD(2)若AB+A
三角形ABC中,AB等于AC,延长BC到D,使CD等于BC,CE垂直BD交AD于E,连接BE交AC于F,求证AF=CF
如图在△ABC中,AB=AC,点O是△ABC的外心,连接AO并延长交BC于D,交三角形ABC的外接圆于点E过点B做圆O的
如图,在三角形ABC中,角BAC=45°,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,连接BE,交AD于点F.
如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD与BE交于点F,连接CF.求证:BF=2AE.
如图,AB、CD交于点O,AC//BD,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点,连接AF、BE,求证:AF//BE
点i是三角形abc的内心,ai的延长线交边bc于点d,交三角形abc外接圆o于点e,连接be、ce,(1)若be=2ce
在三角形ABC中,AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,CE垂直于BD交AD于E,连接BE交AC于F.求证:AF=FC
在三角形ABC中,点D在AC上,AD:DC=1:2,连接BD的中点,延长AE交BC于F,则BF:CF=?