（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x-a）2ex在x=2时取得极小值．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 07:57:54

（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x-a）²e^x在x=2时取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e⁴m，e⁴n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

（1）f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2），
由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．
当a=2时，f'（x）=e^xx（x-2），
易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；
当a=4时，f'（x）=e^x（x-2）（x-4），
易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的a=2．
（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．
①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e⁴n，所以（n-2）²eⁿ=e⁴n．
设g(x)＝
(x−2)2
xex(x≥2)，则g′(x)＝[
x2−4
x2+
(x−2)2
x]ex≥0，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．
由于g（4）=e⁴，即方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解为n=4．
②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．
（Ⅰ）n＞m＞2时，

f(m)＝(m−2)2em＝e4m
f(n)＝(n−2)2en＝e4n，
由①可知不存在满足条件的m，n．
（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，

(m−2)2em＝e4n
(n−2)2en＝e4m，
两式相除得m（m-2）²e^m=n（n-2）²eⁿ．
设h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
则h'（x）=（x³-x²-4x+4）e^x
=（x+2）（x-1）（x-2）e^x，
h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
由h（m）=h（n）得0＜m＜

（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x-a）2ex在x=2时取得极小值．已知函数f（x）=-x3+ax2+bx在区间（-2，1）内，当x=-1时取得极小值，当x=23时取得极大值．已知函数f(x)=2/3x^3+ax^2+bx+c 当f(x)在x∈（0,1）取得极大值且在x∈（1,2）取得极小值,设已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx在区间（-2,1）内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,（已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx在区间（-2,1）内,当x= - 1时取得极小值,当x=2\3时取得极大值,求已知函数f（x）=13ax3-bx2+（2-b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x f(x)=x^3-3/2(a+1)X^2+3ax+1,函数f(x)在x=a处取得极小值1,求a的值,说明在区间（1,4）已知函数f(x)=ex(x2+ax+1) 求函数f(x)的极小值设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x＝-2处取得极小值,则函数y=xf′（x）的图像可能是设f(x)在x=0处连续,且lim(x趋于0）f(x)/x^2=1 ,证明函数f(x)在x=0处可导且取得极小值. 已知函数f(x)=1/2x^2+a/x（a≠0）,1.当x=1时,函数y=f(x)取极小值 2.求函数y＝f(x)的单调（2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex．