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如图,已知△ABC内接于圆o,I为△ABC的内心,连接AI并延长分别交BC和圆o于E、D两点,连接BD、CD,求证:

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/18 10:26:17
如图,已知△ABC内接于圆o,I为△ABC的内心,连接AI并延长分别交BC和圆o于E、D两点,连接BD、CD,求证:
(1)BD=ID=CD
(2)ID²=DE·AD
证明:
(1)
∵内心即角平分线的交点
∴∠BAD=∠CAD,∴BD =CD 【相等圆周角所对的弦相等】
∠ABI=∠EBI
∵∠BID=∠BAD+∠ABI
∠DBI=∠DBC+∠EBI
∠DBC=∠CAD=∠BAD【同弧所对的圆周角相等】
∴∠BID=∠DBI
∴BD=ID=CD
(2)
∵∠DBC=∠CAE=∠BAD
又∵∠BDE=∠ADB【公共角】
∴⊿ABD∽⊿BED(AA‘)
∴AD/BD=BD/DE
转化为BD²=DE×AD
∵ID=BD
∴ID²=DE×AD