定积分定义 的疑问在积分定义里,本来那个和只是面积的近似值,然后求极限以后就变成精确值了?书上说把整个面积分成若干个小曲

定积分定义 的疑问
在积分定义里,本来那个和只是面积的近似值,然后求极限以后就变成精确值了?书上说把整个面积分成若干个小曲边梯形的面积,每个小曲边梯形近似用一个矩形代替,他们只相差一个dx的高阶无穷小.但是求和以后就有无穷多个高阶无穷小,无穷多个高阶无穷小加起来再取极限并不一定等于零啊?怎么解释啊?还有为什么相差一个高阶无穷小?
谢谢那位高人了?

无穷多个高阶无穷小加起来当然不等于0,而是等于你要求的这个面积,这也就是积分的目的.
积分就是把X轴分成多段,每段长都是dx,因此相邻的两个曲边梯形,他们在X轴上的位置就是差一个dx.当分段达到无穷多,dx的长度也就是无穷小了,但是由于乘出来的面积不是0,所以这是一个高阶无穷小.
再问： 你理解错了，不过还是很感谢。我问的是无穷多个高阶无穷小的和是不是无穷小，注意我问的是无穷多个高阶无穷小而不是无穷多个无穷小。
再答： 你书上的原话怎么写的？从来没看到过有人用高阶无穷小来解释积分原理的，毫无必要嘛。这真是把简单的问题复杂化。 另外，无穷多个高阶无穷小的值就是无穷小。无穷多个等阶无穷小的值为常数。无穷多个低阶无穷小的值为无穷大。
再问： 另外，无穷多个高阶无穷小的值就是无穷小。无穷多个等阶无穷小的值为常数。无穷多个低阶无穷小的值为无穷大。 为什么无穷多个高阶无穷小的值就是无穷小？而无穷多个等阶无穷小的值为常数？
再答： 阶越高，趋向无穷小的速度就越快。 例如说a为无穷小， 如果b=a的平方，那么相对a来说，b就是高阶无穷小，b/a=a，为无穷小； 如果b=3a，那么b和a是同阶的，b/a=3为常数； 如果b=根号a，那么b就是a的低阶无穷小，b/a为(1/根号a)，为无穷大； 上面的论述中，a为无穷小的话，1/a即为无穷大，所以b/a可以理解为“无穷多个b”，在不同阶的时候分别为无穷小，常数和无穷大。
再问： 谢谢关于高阶无穷小我已明白。还有个问题： 每个小曲边梯形近似用一个矩形代替，而为什么他们只相差一个dx的高阶无穷小？
再答： 所以我问你原文是怎么说的，我没见过这样的表述。 猜测一下，大概是这个意思： 两个相邻的矩形，他们的面积应该相差(f(Xi)-f(Xj))dx…… i-j=1，Xi-Xj=dx 在dx趋向于无穷小的时候，f(Xi)-f(Xj)也为无穷小。 因为两个无穷小的乘积为高阶无穷小，所以当dx趋向于无穷小的时候，(f(Xi)-f(Xj))dx为高阶无穷小。 注：在定积分中dx与Δx概念相同。
再问： 我们知道定积分的几何意义是[a,b]上曲边梯形的面积。 但定积分的定义是积分和的极限：lim∑f(xi)Δ xi, 而每段小区间[x1,x2]上的曲边梯形面积的近似值也就是矩形面积f(xi)Δ xi，但这是近似值，书上说近似值也就是矩形面积与该段区间曲边梯形的真正面积相差一个高阶无穷小，我问的就是为什么差个高阶无穷小？从而导致也积分和的极限能表示曲边梯形面积的精确值。
再答： 所以我觉得你书上那个表述多此一举，简单的问题复杂化，我也没在其他任何教材或者文献上看到有人这么解释定积分。 说近似值，那是Δx还没到无穷小的时候。只要Δx趋向于无穷小，那么求出来的面积就是精确值。 如果Δx趋向于无穷小，那么这个矩形的面积就是曲边梯形的面积，至于是否差一个或者几个高阶无穷小其实无意义，因为高阶无穷小说白了就是0啊，完全就是多余的概念。
再问： 你说差一个或几个高阶无穷小无意义，那事在取极限后无意义，若没取极限，他们差一个高阶无穷小，关键是为什么差一个高阶无穷小？书上原话是：曲边梯形的实际面积与f(x)dx也就是矩形面积，在没取极限时差一个高阶无穷小。
再答： 那书如果这么说的，就是在胡扯。这简直没有最起码的基本概念。 如果没取极限，差值怎么可能是无穷小。 事实上如果不取极限的话，根本就不存在无穷小的定义。无穷小必须要在极限条件下才能出现。