作业帮利用定积分定义求数列和的极限疑问,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 03:49:32
利用定积分定义求数列和的极限疑问,
今看高数同济六班教辅 高等数学辅导 彭辉主编 中 第五章第一节内容解析,有一段意思说：利用定积分定义计算定积分或者数列和极限时,把闭区间划分为n等分的前提是以假定所求定积分存在或极限存在为前提条件,这是为什么?我的理解是：只要有闭区间存在,那都可以进行n等分,用不着假定定积分存在或者极限存在,再者,你是求极限,同时你又假定其存在,然后用它存在的条件求出它来,这不是循环逻辑么,这样假定不对吧?不太明白,
今看高数同济六班教辅 高等数学辅导 彭辉主编 中 第五章第一节内容解析,有一段意思说：利用定积分定义计算定积分或者数列和极限时,把闭区间划分为n等分的前提是以假定所求定积分存在或极限存在为前提条件,这是为什么?我的理解是：只要有闭区间存在,那都可以进行n等分,用不着假定定积分存在或者极限存在,再者,你是求极限,同时你又假定其存在,然后用它存在的条件求出它来,这不是循环逻辑么,这样假定不对吧?不太明白,
1、把闭区间划分为n等分的前提是以假定所求定积分存在或极限存在为前提条件,这是为什么?
答：这是排除有竖直渐近线的情况,例如 y = 1/(x - 2)², 在 x = 2 处,有竖直渐近线,
那么我们在 [1,3] 的闭区间上积分,只考虑积分的上下限,就出现荒唐的结论.
所以,我们必须考虑在闭区间内,定积分是否存在.而定积分包括暇积分,对
于暇积分,是必须计算极限的的,极限不存在就是积分不收敛.两者是一致的.
2、只要有闭区间存在,那都可以进行n等分.
答：错了.请参见上面的解释.
3、这不是循环逻辑么?
答：这不是循环逻辑.这里只是说,被积函数在给定的区间上必须满足可积分的条件.
具体来说,就是连续.可积的条件就这么简单.只有连续才可积.
再问： 感谢！再问：用定积分定义求数列和式极限或定积分题时，下面哪思路对？1、先写出“已验证此极限存在或满足定积分存在条件”这思路明白；2、这类题公认的极限或定积分存在，什么都无需写直接用定积分定义求，这思路也明白（公认的吗！）；3、写出假定存在或不写出而默认假定存在，这思路不明白，这不是循环逻辑么？即求一值时先假定其存在然后用存在推出值来，从而得出假定正确，这酷似己证己吧？再请高人详解，谢谢急急急！
再答： 看来，你是难得的一位具有深刻思想的学生，不是普通学生那样囫囵吞枣、照单全收， 难能可贵。我们缺少的就是有思想的学生，即使教授，绝大多数也只是死记硬背、望文 生义、穿凿附会的高手。 下面谈谈，我对数列求和的极限，化为定积分的体会： 1、求和数列必须是无穷数列； 2、这个数列必须能化成定积分的思想方法，也就是莱布尼兹方法： A、要有1/n，也就是dx的项出现； B、要有f(xi)的形式出现； 3、至于能不能积得出来，其实事先并不重要，只有将积分式写出后，才去具体分析 积分的方法与技巧。 但是作为理论书籍，就必须写出理论的可行性，也就是理论的适用范围，既然是 用到定积分，这个定积分自然就必须可积，就是你所说的假定存在。 理论上，只要不出现奇点，也就是没有无穷大出现，连续函数一定可积；即使是 有无穷大出现，也有可能是可积的，例如，1/根号x，在0处虽然是无穷大，但是 在x=0处仍然可积。 最好是根据具体题目解释，有问题欢迎随时发过来讨论。
答：这是排除有竖直渐近线的情况,例如 y = 1/(x - 2)², 在 x = 2 处,有竖直渐近线,
那么我们在 [1,3] 的闭区间上积分,只考虑积分的上下限,就出现荒唐的结论.
所以,我们必须考虑在闭区间内,定积分是否存在.而定积分包括暇积分,对
于暇积分,是必须计算极限的的,极限不存在就是积分不收敛.两者是一致的.
2、只要有闭区间存在,那都可以进行n等分.
答：错了.请参见上面的解释.
3、这不是循环逻辑么?
答：这不是循环逻辑.这里只是说,被积函数在给定的区间上必须满足可积分的条件.
具体来说,就是连续.可积的条件就这么简单.只有连续才可积.
再问： 感谢！再问：用定积分定义求数列和式极限或定积分题时，下面哪思路对？1、先写出“已验证此极限存在或满足定积分存在条件”这思路明白；2、这类题公认的极限或定积分存在，什么都无需写直接用定积分定义求，这思路也明白（公认的吗！）；3、写出假定存在或不写出而默认假定存在，这思路不明白，这不是循环逻辑么？即求一值时先假定其存在然后用存在推出值来，从而得出假定正确，这酷似己证己吧？再请高人详解，谢谢急急急！
再答： 看来，你是难得的一位具有深刻思想的学生，不是普通学生那样囫囵吞枣、照单全收， 难能可贵。我们缺少的就是有思想的学生，即使教授，绝大多数也只是死记硬背、望文 生义、穿凿附会的高手。 下面谈谈，我对数列求和的极限，化为定积分的体会： 1、求和数列必须是无穷数列； 2、这个数列必须能化成定积分的思想方法，也就是莱布尼兹方法： A、要有1/n，也就是dx的项出现； B、要有f(xi)的形式出现； 3、至于能不能积得出来，其实事先并不重要，只有将积分式写出后，才去具体分析 积分的方法与技巧。 但是作为理论书籍，就必须写出理论的可行性，也就是理论的适用范围，既然是 用到定积分，这个定积分自然就必须可积，就是你所说的假定存在。 理论上，只要不出现奇点，也就是没有无穷大出现，连续函数一定可积；即使是 有无穷大出现，也有可能是可积的，例如，1/根号x，在0处虽然是无穷大，但是 在x=0处仍然可积。 最好是根据具体题目解释，有问题欢迎随时发过来讨论。