已知a1=2,an=4an-1+2的n次平方,求an (要求用构造x的方程解答)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/21 10:40:09
已知a1=2,an=4an-1+2的n次平方,求an (要求用构造x的方程解答)
/(ㄒoㄒ)/~摆脱了~
/(ㄒoㄒ)/~摆脱了~
解法一:a[n]=4a[n-1]+2^n ①
其特征方程为:
x=4x+2^n
解得其特征根(不动点)为:
x=-2^n/3
①左右两边同时加上不动点,得:
a[n]-2^n/3=4a[n-1]+2^n-2^n/3=4{a[n-1]+2^(n-1)/3}
故数列{a[n]-2^n/3}的公比是4,由a[1]=2,易知其首项为:
a[1]-2/3=2-2/3=4/3
故数列{a[n]-2^n/3}的通项公式是a[n]-2^n/3=4/3×4^(n-1)=4^n/3
故a[n]=4^n/3-2^n/3(自己化简一下)
解法二:a[n]=4a[n-1]+2^n ①
①式左右两边同时除以2^n,得:
a[n]/2^n=4a[n-1]/2^n+1=2{a[n-1]/2^(n-1)}+1
令b[n]=a[n]/2^n,上式可转化为b[n]=2b[n-1]+1 ②
其特征方程为:
x=2x+1
其特征根(不动点)为:
x=-1
②式左右两边同时减去不动点可得:
b[n]+1=2b[n-1]+1+1=2(b[n-1]+1)
即{b[n]+1}的公比是2.由a[1]=2,易知其首项为:
b[1]+1=a[1]/2+1=2/2+1=2
故数列{b[n]+1}的通项公式是b[n]+1=2×2^(n-1)=2^n
故a[n]/2^n+1=2^n,即a[n]=2^n[2^n-1]
解法三:参考 liyalin313
其特征方程为:
x=4x+2^n
解得其特征根(不动点)为:
x=-2^n/3
①左右两边同时加上不动点,得:
a[n]-2^n/3=4a[n-1]+2^n-2^n/3=4{a[n-1]+2^(n-1)/3}
故数列{a[n]-2^n/3}的公比是4,由a[1]=2,易知其首项为:
a[1]-2/3=2-2/3=4/3
故数列{a[n]-2^n/3}的通项公式是a[n]-2^n/3=4/3×4^(n-1)=4^n/3
故a[n]=4^n/3-2^n/3(自己化简一下)
解法二:a[n]=4a[n-1]+2^n ①
①式左右两边同时除以2^n,得:
a[n]/2^n=4a[n-1]/2^n+1=2{a[n-1]/2^(n-1)}+1
令b[n]=a[n]/2^n,上式可转化为b[n]=2b[n-1]+1 ②
其特征方程为:
x=2x+1
其特征根(不动点)为:
x=-1
②式左右两边同时减去不动点可得:
b[n]+1=2b[n-1]+1+1=2(b[n-1]+1)
即{b[n]+1}的公比是2.由a[1]=2,易知其首项为:
b[1]+1=a[1]/2+1=2/2+1=2
故数列{b[n]+1}的通项公式是b[n]+1=2×2^(n-1)=2^n
故a[n]/2^n+1=2^n,即a[n]=2^n[2^n-1]
解法三:参考 liyalin313
已知a1=2,an=4an-1+2的n次平方,求an (要求用构造x的方程解答)
已知数列{an}满足a1=1/2,an+1=an+1/n的平方+n求an
数列的通项求法构造法已知a1=1,an=3an-1+2^n,求
在数列an中,a1=1,且an=an-1+3^n-1,求an的通项公式 用构造法解答
已知数列an满足a1=1/2 sn=n平方×an 求an
已知数列{an}满足a1=33,a(n+1)-an=2n,求an/n的最小值
已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n 则求an/n的最小值
已知数列{an}中 a1=1/2 an+1=an+1/n平方+3n+2求数列{an}的通项公式
已知an+1=(4an+3)/(an+2),a1=2,求数列{an}的通项公式(其中n+1,n是下标)
a1=1/2,an+1=an/an+2,求n/an的sn
已知数列{an}中,a1=1,an=2an-1+3的n次方,求an
已知A1=1,An=3A(n-1)+5^n-1,求An的值 ( 最好用构造法求)