作业帮怎样从切线证明圆的直径
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 08:10:23
怎样从切线证明圆的直径
从圆上一点引圆的切线,再过这一点做与这条线垂直的弦,如何证明这是圆的直径?
从圆上一点引圆的切线,再过这一点做与这条线垂直的弦,如何证明这是圆的直径?
由圆的切线定义可得,过切点垂直于切线的直线必过圆心,可知所作的弦过圆心,那么由直线的定义可得,过圆心的弦是圆的直径.
再问： “过切点垂直于切线的直线必过圆心”——这并不是公理啊，应该可以证明吧
再答： 定义的应用与定理的应用是不一样的。比如：对顶角相等。这是对顶角的一个性质定理，反过来，如果说相等的角是对顶角。这就不对了，因为原定理并没有逆定理。但是，90度的角叫做直角，反过来，直角就是90度的角，因为它是直角的定义，定义是互逆都能用的。这里，切线的定义是：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。它是一个定义，所以能够互逆应用。
再问： 圆的切线垂直于半径是可以证明的，我认为同理，垂直于切线的弦是半径也可以证明 切线也可以是一条与圆有且只有一个交点的线，这样就没有定义中的那些条件了
再答： 这个定义有两个条件：其一是“过半径外端（这里的“半径”已经隐含着“过圆心”了）”，其二是“垂直于半径”，而结论是“圆的切线”。所以反过来，有了“圆的切线”与另一个假如“半径与切线垂直”作条件，那么结论就是“必过切点”；或者与另一个假如“过切点的半径”，那么结论就是“必与切线垂直”；再者，假如“过切点与切线垂直”，那么结论就是“它是圆的半径（过圆心）”。但是你所述的“垂直于切线的弦”即是不一定是半径，所以也不一定会“过圆心”了。
再问： 如果是这样一道题，有一条直线，与圆有且只有一个交点，过这个交点做与这条直线垂直的一条弦，求证这条弦是直径
再答： 这样的题目不必证明，直接可得：过这个交点与这条直线垂直的弦是圆的直径（切线定义）。
再问： “过切点垂直于切线的直线必过圆心”——这并不是公理啊，应该可以证明吧
再答： 定义的应用与定理的应用是不一样的。比如：对顶角相等。这是对顶角的一个性质定理，反过来，如果说相等的角是对顶角。这就不对了，因为原定理并没有逆定理。但是，90度的角叫做直角，反过来，直角就是90度的角，因为它是直角的定义，定义是互逆都能用的。这里，切线的定义是：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。它是一个定义，所以能够互逆应用。
再问： 圆的切线垂直于半径是可以证明的，我认为同理，垂直于切线的弦是半径也可以证明 切线也可以是一条与圆有且只有一个交点的线，这样就没有定义中的那些条件了
再答： 这个定义有两个条件：其一是“过半径外端（这里的“半径”已经隐含着“过圆心”了）”，其二是“垂直于半径”，而结论是“圆的切线”。所以反过来，有了“圆的切线”与另一个假如“半径与切线垂直”作条件，那么结论就是“必过切点”；或者与另一个假如“过切点的半径”，那么结论就是“必与切线垂直”；再者，假如“过切点与切线垂直”，那么结论就是“它是圆的半径（过圆心）”。但是你所述的“垂直于切线的弦”即是不一定是半径，所以也不一定会“过圆心”了。
再问： 如果是这样一道题，有一条直线，与圆有且只有一个交点，过这个交点做与这条直线垂直的一条弦，求证这条弦是直径
再答： 这样的题目不必证明，直接可得：过这个交点与这条直线垂直的弦是圆的直径（切线定义）。