作业帮斐波那契数列怎么求它的第几项是多少?还有关于它的基本题型,怎么判断出一道题是不是要用到斐波那契数列?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 00:33:13
斐波那契数列怎么求它的第几项是多少?还有关于它的基本题型,怎么判断出一道题是不是要用到斐波那契数列?
有没有公式？
有没有公式？
答案是肯定有的!
事实上任意的：
a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相邻3项的递推式,都可以解出其通项公式
解决这类问题的方法主流的有两种：1.待定系数法 2.特征方程法
下图便是待定系数法解此类问题的完备性与特征方程的的证明
我以一个特殊的例子为LZ讲解一下特征方程法的一个应用
{1,1,2,3,5,8,13,21,……}
不难发现这个数列有两个非常显著的特点就是：a1=a2=1且an=a(n-1)+a(n-2)
其实这就是著名的斐波那契数列 其从第3项其后项为前两项之和
这就相当于a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的A,B均为1的特殊情况
通过下图所证明的“特征方程”法可知：
解an=a(n-1)+a(n-2)的特征方程x^2=x+1得
x1,x2分别为（1+跟5）/2和（1-跟5）/2
则有an=α[（1+跟5）/2]^n+β[（1-跟5）/2]^n
其中α与β为待定系数,可代入a1,a2来解得α=1/跟5,β=-1/跟5
即an=（1/跟5）{[（1+跟5）/2]^n-[（1-跟5）/2]^n}
这就是斐波那契数列的通项公式!
那么对于a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相邻3项的递推式
只需要解其特征方程x^2=Ax+B
①仅有1个实根：{an/（x^n）}为等差数列
可待定系数设an=[a1+(n-1)d]x^(n-1)
再由a2确定d的值
②有两个不相等的实根：
可待定系数设an=α(x1)^n+β(x2)^n
再由a1,a2确定α和β的值
若LZ还有什么地方不明白的可追问
事实上任意的：
a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相邻3项的递推式,都可以解出其通项公式
解决这类问题的方法主流的有两种：1.待定系数法 2.特征方程法
下图便是待定系数法解此类问题的完备性与特征方程的的证明
我以一个特殊的例子为LZ讲解一下特征方程法的一个应用
{1,1,2,3,5,8,13,21,……}
不难发现这个数列有两个非常显著的特点就是：a1=a2=1且an=a(n-1)+a(n-2)
其实这就是著名的斐波那契数列 其从第3项其后项为前两项之和
这就相当于a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的A,B均为1的特殊情况
通过下图所证明的“特征方程”法可知：
解an=a(n-1)+a(n-2)的特征方程x^2=x+1得
x1,x2分别为（1+跟5）/2和（1-跟5）/2
则有an=α[（1+跟5）/2]^n+β[（1-跟5）/2]^n
其中α与β为待定系数,可代入a1,a2来解得α=1/跟5,β=-1/跟5
即an=（1/跟5）{[（1+跟5）/2]^n-[（1-跟5）/2]^n}
这就是斐波那契数列的通项公式!
那么对于a(n+2)=Aa(n+1)+Ban形式的相邻3项的递推式
只需要解其特征方程x^2=Ax+B
①仅有1个实根：{an/（x^n）}为等差数列
可待定系数设an=[a1+(n-1)d]x^(n-1)
再由a2确定d的值
②有两个不相等的实根：
可待定系数设an=α(x1)^n+β(x2)^n
再由a1,a2确定α和β的值
若LZ还有什么地方不明白的可追问