已知数列an的首项a1=3/5,an+1=3an/2an+1

已知数列an的首项a1=3/5,an+1=3an/2an+1
证明；对任意的x＞0,an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x],n=1,2,

要证明的结论有问题吧,应该是证明“对任意的x＞0,an≥1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x],n=1,2,……”吧?
证明：a(n+1)=3a(n)/[2a(n)+1]①,特征方程为x=3x/(2x+1),一根为0,一根为1.于是
a(n+1)-1=3a(n)/[2a(n)+1]-1=[a(n)-1]/[2a(n)+1]②
①÷②,得
a(n+1)/[a(n+1)-1]=3*a(n)/[a(n)-1]
令b(n)=a(n)/[a(n)-1],则b(1)=(3/5)(/3/5-1)=-3/2,且b(n+1)=3b(n),则b(n)为首项为-3/2,公比为3的等比数列.于是有b(n)=b(1)*3^(n-1)=-3/2*3^(n-1)=-(3^n)/2=a(n)/[a(n)-1],解得
a(n)=3^n/(3^n+2)
则1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]=1/(1+x)-x/(1+x)²-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²*[1-2/(3^n+2)]
=1/(1+x)²*3^n/(3^n+2)
对任意的x＞0,恒有0＜1/(1+x)²＜1,故有
1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]=1/(1+x)²*3^n/(3^n+2)≤a(n),也即
a(n)≥1/(1+x)-1/(1+x)²*[2/(3^n+2)+x]成立.
再问： an你算得没错 an≥1/(1+x) - [1/(1+x)2] * [2/(3^n)-x]，n=1，2 “-”号没错
再答： n取1和2倒是可以成立的。那就很简单啦 n=1时有左边=3/5， 右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^1)-x]=1/(1+x)^2*(1+x-2/3+x)=2(x+1/6)/(x^2+2x+1) =2(x+1/6)/[(x+1/6)^2+5/3*(x+1/6)+1-1/36-5/18)=2/[(x+1/6)+25/36/(x+1/6)+5/3] ≤2/[2√[(x+1/6)*25/36/(x+1/6)]+5/3]=3/5≤左边； n=2时有左边=9/11， 右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^2)-x]=2(x+7/18)/(x^2+2x+1) =2(x+7/18)/[(x+7/18)^2+11/9*(x+7/18)+121/324] =2/[(x+7/18)+121/324/(x+7/18)+11/9] ≤2/[2√[(x+7/18)*121/324/(x+7/18)]+11/9]=9/11≤左边
再问： n=1，2、、、、有省略号的 你再看看吧，我再加悬赏分
再答： 呵呵，要累死人啦！ 右边=1/(1+x) - [1/(1+x)^2] * [2/(3^n)-x]=1/(1+x)^2]*(1+x+x-2/3^n)=[2x+(3^n-2)/3^n]/(1+x)^2 =2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+1-1/4*[(3^n-2)/3^n]^2 -(3^n+2)/3^n*1/2*(3^n-2)/3^n} =2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+[4*(3^n)^2-(3^n-2)^2-2*(3^n)^2+8]/[4*(3^n)^2]} =2[x+1/2*(3^n-2)/3^n]/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]^2+(3^n+2)/3^n*[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+ [(3^n+2)/(2*3^n)]^2} =2/{[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+[(3^n+2)/(2*3^n)]^2/[x+1/2*(3^n-2)/3^n]+(3^n+2)/3^n} ≤2/[2*(3^n+2)/(2*3^n)+(3^n+2)/3^n]=3^n/(3^n+2)=a(n) 大功告成！
再问： 好乱，能用word公式编辑器打出来用图片截图形式看下吗
再答： 我不知道咋传图片啊。好的我试试吧，悬赏分要提上去哦