作业帮】高数题证明题-涉及泰勒公式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 17:54:41
】高数题证明题-涉及泰勒公式
已知：f"(a) 存在
求证：f"(a) =极限（h ->0）后面这个式子{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2
题目给的提示是：使用泰勒公式 P2,a(x)（2,a是小体的,标注在P的右下角；意思是在a点处的二次泰勒公式）,提示令 x = a + h 和 x = a -h
好像看不清楚，两个都是f 的两撇
已知：f"(a) 存在
求证：f"(a) =极限（h ->0）后面这个式子{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2
题目给的提示是：使用泰勒公式 P2,a(x)（2,a是小体的,标注在P的右下角；意思是在a点处的二次泰勒公式）,提示令 x = a + h 和 x = a -h
好像看不清楚，两个都是f 的两撇
f（a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(ξ1)/2!*h²
f（a-h)=f(a)-f'(a)h+f''(ξ2)/2!*h²
相加得
f（a+h)+f(a-h)=2f(a)+f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
所以
f（a+h)+f(a-h)-2f(a)=f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
从而
{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!
h->0有,ξ1->a,ξ2->a
而
f"(a) 存在,所以
极限存在
即
lim(h->0){ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=lim(h->0)【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!=【f''(a)+f''(a)】/2!=f''(a)
再问： 请问ξ1，ξ2是什么？ 为什么不能直接展开的时候写f(a)的两撇 为什么要这一步：h->0有，ξ1->a,ξ2->a
f（a-h)=f(a)-f'(a)h+f''(ξ2)/2!*h²
相加得
f（a+h)+f(a-h)=2f(a)+f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
所以
f（a+h)+f(a-h)-2f(a)=f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
从而
{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!
h->0有,ξ1->a,ξ2->a
而
f"(a) 存在,所以
极限存在
即
lim(h->0){ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=lim(h->0)【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!=【f''(a)+f''(a)】/2!=f''(a)
再问： 请问ξ1，ξ2是什么？ 为什么不能直接展开的时候写f(a)的两撇 为什么要这一步：h->0有，ξ1->a,ξ2->a