作业帮求极限,谢谢大家啦〜
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 14:41:41
求极限,谢谢大家啦〜
求极限 x→0⁺lim{【0,x²】∫t^(³/₂)dt/【0,x】∫t(t-sint)dt}
解一：因为这是0/0型,故可直接用洛必达法则：
原式= x→0⁺lim[(x²)^(³/₂)(2x)]/[x(x-sinx)]=x→0⁺lim[2x⁴/(x²-xsinx)]=x→0⁺lim[8x³/(2x-sinx-xcosx)]
=x→0⁺lim[24x²/(2-cosx-cosx+xsinx)]=x→0⁺lim[24x²/(2-2cosx+xsinx)]
=x→0⁺lim[48x/(2sinx+sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48x/(3sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48/(3cosx+cosx-xsinx)]
=x→0⁺lim[48/(4cosx-xsinx)]=12
解二：分子分母先分别积分：
分子：【0,x²】∫t^(³/₂)dt=(2/5)x^(⁵/₂)【0,x²】=(2/5)x⁵
分母：【0,x】∫t(t-sint)dt=【0,x】∫(t²-tsint)dt=【0,x】[t³/3+∫td(cost)]
=【0,x】[t³/3+tcosx-sint]=x³/3+xcosx-sinx
故原式=x→0⁺lim[(2/5)x⁵]/[x³/3+xcosx-sinx]=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx+cosx-cosx)
=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx)【从此处开始,与解一的第二个等号后完全一致,故不再作了,直接写出
结果】=12.
解一：因为这是0/0型,故可直接用洛必达法则：
原式= x→0⁺lim[(x²)^(³/₂)(2x)]/[x(x-sinx)]=x→0⁺lim[2x⁴/(x²-xsinx)]=x→0⁺lim[8x³/(2x-sinx-xcosx)]
=x→0⁺lim[24x²/(2-cosx-cosx+xsinx)]=x→0⁺lim[24x²/(2-2cosx+xsinx)]
=x→0⁺lim[48x/(2sinx+sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48x/(3sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48/(3cosx+cosx-xsinx)]
=x→0⁺lim[48/(4cosx-xsinx)]=12
解二：分子分母先分别积分：
分子：【0,x²】∫t^(³/₂)dt=(2/5)x^(⁵/₂)【0,x²】=(2/5)x⁵
分母：【0,x】∫t(t-sint)dt=【0,x】∫(t²-tsint)dt=【0,x】[t³/3+∫td(cost)]
=【0,x】[t³/3+tcosx-sint]=x³/3+xcosx-sinx
故原式=x→0⁺lim[(2/5)x⁵]/[x³/3+xcosx-sinx]=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx+cosx-cosx)
=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx)【从此处开始,与解一的第二个等号后完全一致,故不再作了,直接写出
结果】=12.