椭圆基础问题过椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1一个焦点F作两条相互垂直的直线L1,L2,L1交椭圆于AB两点,L2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 09:00:22

椭圆基础问题
过椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1一个焦点F作两条相互垂直的直线L1,L2,L1交椭圆于AB两点,L2交椭圆于CD两点.求证：（1）1/FA + 1/FB=1/FC + 1/FD; (2)1/AB+1/CD是定值.
a>b>0，随便取个特殊值都成立

设L1：y=k(x-c),其中c=√（a^2-b^2),
代入椭圆方程得b^2x^2+a^2k^2(x-c)^2=a^2b^2,
(b^2+a^2k^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2a^2ck^2/(b^2+a^2k^2),
x1x2=a^2(c^2k^2-b^2)/(b^2+a^2k^2),
|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=2ab^2√（1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
|FA|=|x1-c|√（1+k^2),
|FB|=|x2-c|√（1+k^2),
∴|FA|*|FB|=|(x1-c)(x2-c)|(1+k^2)
=|[x1x2-c(x1+x2)+c^2]|(1+k^2)
=|[a^2(c^2k^2-b^2)-2a^2c^2k^2+c^2(b^2+a^2k^2)]|(1+k^2)/(b^2+a^2k^2)
=b^4(1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
FC*FD=b^4(1+1/k^2)/(b^2+a^2/k^2)=b^4(1+k^2)/(a^2+b^2k^2)≠FA*FB,
(1)1/FA + 1/FB
=(FA+FB)/(FA*FB)
=(x1-x2)√（1+k^2)/(-|FA|*|FB|)
=2a/[b^2*√（1+k^2）],
∵L1⊥L2,
∴以-1/k代k,得
1/FC + 1/FD
=2a/[b^2*√(1+1/k^2)]
≠1/FA + 1/FB,
请检查题目.

椭圆基础问题过椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1一个焦点F作两条相互垂直的直线L1,L2,L1交椭圆于AB两点,L2 过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长已知椭圆的方程为x^2/5+y^2=1,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l,交椭圆于A,B两点.1.设点M(m,0 已知椭圆x^2/2+y^2=1的右焦点F,O为坐标原点,过F的直线l交椭圆于A、B两点过椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,B两点,求证以弦AB为直径的圆与与椭圆的右准线相离 x^2=4y,直线l过焦点与抛物线交于A,B两点,过A,B的切线为l1,l2 过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.椭圆中心为O.当三角形AOB面积最大时,求直线l的方已知椭圆 x^2/9+y^2=1,过左焦点F作倾斜角为30度的直线交椭圆于A,B两点已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,并且线段AB 的中点在直线x+y=0上, 椭圆的一个焦点F(C,0)与短轴两端点的连线互相垂直过F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,AB=根号2,求椭圆方程过定点M(1,2)的两直线l1与l2,l1与x轴交于点A,l2与y轴交于点B,且l1⊥l2,则线段AB中点的轨迹方程是_ 过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．