已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 13:18:55

这个题可以用极坐标来解答方法比较简单极坐标的公式及不太清楚了好像是ep/(1-cos a)吧
常用方法是设直线,及讨论直线的斜率存在与不存在时的情况予以讨论：
不妨设A(x1,y1),C(x2,y2),B(x3,y3),D(x4,y4)
（1）若AC或者BD垂直于坐标轴,不妨设AC垂直于x轴,则此时的交点为（-1,±√2/2）,(±√2,0),此时的面积S=2
（2）若AC,BD直线均存在斜率时,可设直线AC斜率为k,则由题意可知直线BD的斜率是-1/k,lac方程为:y=kx+k,
则联立方程﹛y=kx+k：X^2/2+Y^2=1},（2k^2+1)x^2+4k^2x+2(k^2-1)=0,
x1+x2=-4k^2/(2k^2+1),x1x2=2(k^2-1)/(2k^2+1)
△=8k^2+8＞0
(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1x2=[-4k^2/(2k^2+1)]^-8(k^2-1)/(2k^2+1)=△^2/(2k^2+1)^2=64(k^+1)^/(2k^2+1)^,
(y2-y1)^=((kx1+k)-(kx2+k))^=k^(x1-x2)^
则AC长度为√[（x1-x2）^+(y1-y2)^]=√[(k^+1)(x1-x2)^]=2√2(k^+1)/(2k^2+1)
同理设BD方程为：y=-1/k(x+1)
联立方程可得：{y=-1/k(x+1)：X^2/2+Y^2=1}
BD长度为：2√2(k^+1)/(2k^2+1)
故次四边形的面积为：S=0.5*AC*BD=0.5*2√2(k^+1)/(2k^2+1)*2√2(k^+1)/(2k^2+1)
=4(k^+1)^/[(2+k^)(2k^+1)]
将S视为变量,则可化为：（4-2S）k^4+(8-5S)k^+4-2S=0,此处k有解,则△=（8-5S）^-16(2-S)^≥0,解得S≥16/9（S≥0）
综上所述,当AC,BD垂直于坐标轴时四边形的面积为2
当AC,BD不垂直垂直于坐标轴时四边形的面积最小为16/9＜2
则面积最小为16/9

已知F是椭圆X^/2+Y^2=1的左焦点,两弦AC与BD均过点F.若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积S的最小值过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,若AC垂直于BD,试求四边形ABCD的面积已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的弦ac和bd,且ac垂直bd,则四边形abcd的面积如图所示,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,四边形AEFC是菱形,EH垂直AC,说明EH=1/2F 已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A.B两点已知圆T：（x-4）2+（y-3）2=25，过圆T内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积一个任意四边形ABCD连接对角线AC.BD交于点O,S△AOD=4,S△BOC=64,求四边形ABCD面积的最小值? 过圆x^2+y^2=9内一点P(1,2) 作两条相互垂直的弦AC、BD 当AC=BD时,四边形ABCD的面积为多少 .过圆X+Y=9 内一点P（1,2）作两条相互垂直的弦AC,BD ,当 AC=BD时,四边形ABCD 的面积为多少? 在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,EF分别交BD,AC与点M,N,求四边形ABCD中线段AC和BD相互垂直且相交于O.已知AC=4CM,BD=5CM,求四边形ABCD的面积?