作业帮cantor构造实数怎样用柯西序列构造实数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 12:21:35
cantor构造实数
怎样用柯西序列构造实数
怎样用柯西序列构造实数
这是在ZFC系统定义的实数.康托尔：一个有理序列,若收敛,则它为实数.这里收敛序列即柯西序列.从这个定义可看出一个有理柯西序列本身就是实数.
补充：两个柯西序列可能定义出“大小”相等的实数,可以给出实数大小相等的定义,这是一个等价关系.选十进制无穷正规小数作为代表来表示.
注：数学分析关于实数连续性的讨论基于不同的公理系统
再问： 基于不同的公理又有什么问题呢？
再答： 请把问题说的明白些。关于提问中的问题已经回答完毕
再问： 注：数学分析关于实数连续性的讨论基于不同的公理系统 你说的基于不同的公理系统。又会有什么问题呢？不能用有理数序列代替实数的小数定义吗
再答： 不能，那是一个完备的公理系统，不能定义自然数，故不能定义有理数，实数的定义无从谈起。另外两个有理柯西序列定义的实数可能“大小相等”（收敛于同一极限），无穷正规小数就是表示大小相等实数的一个代表，它本身也是有理柯西序列。给实数赋予了大小才能体现它“量”的关系。无论是实数完备性公理，单调有界原则，还是确界原则（不知你所学的是从哪个出发的），都没说实数“是”什么，只是说实数满足什么。实数的定义必须在ZFC系统下讨论，里面涉及到的自然数、有理数、序列都用到了公理集合论
再问： 我们以上讨论的东西都是现代数学的东西吧？难道在集合论出现之前数学家们就没有对实数有一个很好的定义吗？
再答： 是的。没有
补充：两个柯西序列可能定义出“大小”相等的实数,可以给出实数大小相等的定义,这是一个等价关系.选十进制无穷正规小数作为代表来表示.
注：数学分析关于实数连续性的讨论基于不同的公理系统
再问： 基于不同的公理又有什么问题呢？
再答： 请把问题说的明白些。关于提问中的问题已经回答完毕
再问： 注：数学分析关于实数连续性的讨论基于不同的公理系统 你说的基于不同的公理系统。又会有什么问题呢？不能用有理数序列代替实数的小数定义吗
再答： 不能，那是一个完备的公理系统，不能定义自然数，故不能定义有理数，实数的定义无从谈起。另外两个有理柯西序列定义的实数可能“大小相等”（收敛于同一极限），无穷正规小数就是表示大小相等实数的一个代表，它本身也是有理柯西序列。给实数赋予了大小才能体现它“量”的关系。无论是实数完备性公理，单调有界原则，还是确界原则（不知你所学的是从哪个出发的），都没说实数“是”什么，只是说实数满足什么。实数的定义必须在ZFC系统下讨论，里面涉及到的自然数、有理数、序列都用到了公理集合论
再问： 我们以上讨论的东西都是现代数学的东西吧？难道在集合论出现之前数学家们就没有对实数有一个很好的定义吗？
再答： 是的。没有