在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+c
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 14:53:19
在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC
易知cosx及sinx都不为0,则已知式等价于
cos(x+A)/cosx*cos(x+B)/cosx*cos(x+C)/cosx+1=0
等价于
(cosA-tanxsinA)(cosB-tanxsinB)(cosC-tanxsinC)+1=0
等价于
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=1/(sinAsinBsinC)
下证1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA):
右边等价于
(cotA+cotB+cotC)(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)-cotAcotBcotC
又由三角形中的三角恒等式
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
知右边等价于
cotA+cotB+cotC-cotAcotBcotC
等价于
(cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)
因此只需证
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC=1
而事实上
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC
=cosA(sinBsinC-cosBcosC)+sinA(cosBsinC+cosCsinB)
=cos²A+sin²A
=1
成立,所以1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)式得证.
因此得到
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)
等价于
(tan²x+cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
再次利用那个恒等式,即等价于
(tan²+1)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
因此必有
tanx=cotA+cotB+cotC
cos(x+A)/cosx*cos(x+B)/cosx*cos(x+C)/cosx+1=0
等价于
(cosA-tanxsinA)(cosB-tanxsinB)(cosC-tanxsinC)+1=0
等价于
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=1/(sinAsinBsinC)
下证1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA):
右边等价于
(cotA+cotB+cotC)(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)-cotAcotBcotC
又由三角形中的三角恒等式
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
知右边等价于
cotA+cotB+cotC-cotAcotBcotC
等价于
(cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)
因此只需证
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC=1
而事实上
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC
=cosA(sinBsinC-cosBcosC)+sinA(cosBsinC+cosCsinB)
=cos²A+sin²A
=1
成立,所以1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)式得证.
因此得到
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)
等价于
(tan²x+cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
再次利用那个恒等式,即等价于
(tan²+1)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
因此必有
tanx=cotA+cotB+cotC
在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+c
(tanx+cotx)*cos的平方x=?A.tanx B.sinx C.cosx D.cotx
在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
11.在△ABC中,求证sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
在△ABC中,求证:a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b +
设函数f(x)=sinxsin(π/2+x)+cos²x,在△ABC中,角A B C的对边分别为abc
下列关系正确的是 A cos(π/2-x)=cosx B tan(2π+x)=-tanx C cos(π+x)=cosx
设函数f(x)=cos(2x-4π/3)+2cos²x (2)已知ΔABC中,角A,B,C的对边分
[tanx+(1/tanx)]cos^x
求证:a^2(cos^2b-cos^2c)+b^2(cos^c-cos^2a)+c^2(cos^2a-cos^2b)=0
在三角形abc中,角a,b,c所对的边分别是a,b,c,设函数f(x)=cosx.cos(x-a)
在△ABC中,(1)求证:cos^2(A+B)/2+cos^2(C/2)=1 (2)若cos(π/2+A)sin(3/2