设f(x)是单调连续函数,且F'（x）=f(x),求其反函数的不定积分（见图）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 07:12:59

对int[x*d(f^-1(x))]做y=f^-1(x)的换元、要注意到被积分域上也需要变换.
举个例子
f(x)=2x
f^-1(x)=x/2
F(x)=x^2+c
int(x/2*dx,a,b)=[x*x/2](a,b)-int(x*d(x/2),a,b)
我的意思就是
令y=x/2
int(x*d(x/2),a,b)=int(2y*dy,a/2,b/2)=[x^2+c](a/2,b/2)=[F(x)](f^-1(a),f^-1(b))=[F(f^-1(x))](a,b)
再问：这种用具体函数形式的推导，真正写卷子的时候这是不严谨的。。。能不能用抽象的函数来推导呢？
再答：我这只是举个例子提供一个思路、你按照这个例子整理一下过程也不算很难的一件事、这样印象也深刻一点。
再问：你好，我就是卡在了这一步，思路转不过来，能具体教一下推导出答案的F[f-1(x)]的过程么？
再答： int[x*d[f^-1],E] E是被积分的区间
做y=f^-1(x)...即x=f(y)...的换元、就有
int[f(y)*dy,f^-1(E)] (因为f是单调连续、能保证这个换元是合理的)
=[F(y)](f^-1(E))=[F(f^-1(x))](E)
(这样原式的取值就没有二意了、可以省略掉E，就是题目的答案。)

你可以按这个证明过程、对比我上面的例子、容易理解一些。
再问：

设f(x)是单调连续函数,且F'（x）=f(x),求其反函数的不定积分（见图）设y=f(x)(x>=0)是严格单调增加的连续函数,f(0)=0,x=h(y)是它的反函数,证明：设f(x)是[0,1]上的连续函数且f(x)=x^2 +不定积分(下限0,上限1)∫xf(x)dx 已知函数y=f(x)在R上单调递增,且F（x）=f（x）-f(-x),且存在反函数,是判断F（x）的反函数的单调性? 设f(x)是[0,1]上单调增加的连续函数,且积分f^2(x)dx>0,求证求解一题高数题!设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ʃ(1到0）f(t)dt,则f(x)=( )A(x^2 定义在R上的连续函数f(x)存在反函数是f(x)单调的什么条件?为什么设f(x)为连续函数,且满足f(x)=3x^2-x∫（1,0）f(x)dx求f(x) 一道定积分的题目设y=f(x)(x>=0)是严格单调递增的连续函数,f(0)=0,x=g(y)是它的反函数,证明 ∫(0 设f(x)可导.且f(x)导数>0,f(0)=0,f(a)=b,g(x)是f(X)的反函数,求∫f（x）dx（上a下o）微积分概念 1．设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则（）. 若函数y=f（x）,x∈R,y∈[0,+∞]的反函数是y=f-1（x）,且f（x）在R上单调递增,求函数f-1（x