谁知道2007年第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛的答案!

谁知道2007年第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛的答案!

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）
填空（每题10分,共80分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 97 48 5 7 85°
二、简答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）
9、设x,y,z,t是整数,并且假设
（1）
比较上式a,b,c的系数,应当有

（2）

取 ,可以得到 ,则有
（3）
既然 和都能被13整除,就能被13整除.
【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和,表达方式不唯一,例如：取,则有 ,则有

实际上,（2）是一组二元整系数不定方程,我们先解第一个,得到
,这里k是任意整数,
将 代入其余方程,解得
,这里k是任意整数,
则可以有

评分参考：有类似于（3）的代数表达式,给10分.
10、如图3a,连接AE、EN和NC,易知
由 , ,
上面两个式子相加得
（1）
并且四边形AECN的面积=.
连接AC,如图3b,由三角形面积公式,易知
,
上面两个式子相加得
四边形AECN的面积= （2）
将（1）式和（2）相加,得到
,
既然
,
因此 图3b
, .
答：
评分参考：①能利用三角形面积公式导出结果（1）,给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2）,给4分；③正确给出答案,给2分.
11、填数的方法是排除法,用（m,n）表示位于第m行和第n列的方格.
第七行、第八行和第3列有9,所以,原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9,2）格 图4a
子中；第1列、第2列和第七行有数字5,所以,在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9,3）中；第七行、第八行有数字6,图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9,6）；此时,在第九行尚缺数字7和3,由于第9列有数字7,所以,7应当填在（9,8）；3自然就填在（9,9）了,填法见图4a.
九位数是 495186273.
评分参考：①正确给出答案,给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法,能说明理由,给5分,每个空格给1分；③即使最后答案不正确,对于推理正确的空格填法,要适当给分；
12、
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点,有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点,有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点,有4种取法.因为任何3个点不在同一条直线上,所以,这样选出的三个点可以做出1个三角形.但是,如果选出的三个点相同的话,则做出的三角形相同,三个点相同的取法有3×2×1=6种,所以,以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形.
（2）每个三角形有3个顶点,所以,6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形.
（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点,假设可以选出两两没有公共边的5个三角形,它们共有15个顶点,需要15个英文大写字母.这里不同的英文大写字母仅有6个.因此,这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点,无妨设为A.根据假设,这3个三角形两两没有公共边,即除去公共顶点A之外,其余6个顶点互不相同,即表示这6个顶点的字母不相同.但是,除A之外,我们仅有5个不同的字母.所以,不可能存在5个三角形,它们两两没有公共边.
又显然,和这4个三角形两两没有公共边.所以,最多可以选出4个三角形,其中任何两个三角形都没有公共边.
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确给2分；③第三问,回答正确给2分,能解释理由再给2分.
三、解答下列各题（每题15分,共30分,要求写出详细过程）
13、设刘芳的年龄为x岁.
① 刘芳和路路的年龄和是36岁,是个偶数,他们的年龄差也是一个偶数,而路路和妈妈的年龄的差是奇数,因此路路的妈妈不是刘芳.注意到菲菲比刘芳小29岁,菲菲的妈妈不是刘芳,所以,壮壮的妈妈是刘芳.
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(
路路岁,他的妈妈应当是 岁,和为
菲菲岁,她的妈妈应当是 岁,和为
由于6个人共105岁,所以,
.
③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁,所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36,路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁,所以王雪31岁.
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.
评分参考：①第一步,能判断出壮壮的妈妈是刘芳,给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈,给5分；③能正确回答3个孩子的年龄,给5分.
14、
（1）由于,故有 .所以,能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.
（2）不妨设,现在的问题就是寻找整a,b,c,满足

由,则有
,从而 ,
所以 .又有,所以 ,故或16.
若,则有 ,由于,并且 ,
所以 , .
故 ,100或121.将 、100和121分别代入 ,没有一个是完全平方数,说明当 时,无解.
若 ,则 .类似地,可得：
,即 ,
此时,不是整数.
综上所述,不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.
评分参考：①正确回答第一问给5分（答案不唯一）；②能得到或16,给6分；③能分别对 和16讨论能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和,各给2分,共4分；④对代数式合理和正确的推导适当给分.
特别说明：因为各题的解答未必唯一,上述解答和评分仅供参考.