如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 07:48:13

如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(3,0),C(0,2),点P是OA
如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（3，0），C（0，2），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

（1）证明：由翻折可知：△OPE≌△FPE,△ABP≌△DBP,
∴∠OPE=∠FPE,∠APB=∠DPB,又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°,
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°,又∠OPE+∠OEP=90°,
∴∠OEP=∠APB,又∠POE=∠BAP=90°,
∴△POE∽△BAP；
由（Ⅰ）知：△POE∽△BAP,
∴OP/AB=OE/AP,又OP=x,OE=y,故PA=4-x,AB=3,
即x/3=y/(4-x),化简得：y=1/3x（4-x）=-1/3x^2+4/3x,且0＜x＜4,
∴当x=-b/2a=-4/3/2×(-1/3)=2时,ymax=4ac-b^2/4a=4×(-1/3)×0-(4/3)^2/4×(-1/3)=4/3；
根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形,且OP=OE=1,AP=AB=3,
则E（0,1）,P（1,0）,B（4,3）,设过三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c,
把三点坐标代入得：{c=1① a+b+c=0② 16a+4b+c=3③,
③-②×4得：12a-3c=3,把c=1代入解得：a=1/2,
把a=1/2,c=1代入②解得：b=-3/2,故y=1/2x^2-3/2x+1；
存在．
当点P为△EPQ的直角顶点时,由EP⊥PB,得到Q（4,3）；
当点E为△EPQ的直角顶点时,过点E作EQ⊥EP,交抛物线与点Q,
由EQ∥PB,设直线PB的方程为：y=kx+b,
把P（1,0）和B（4,3）代入得：{k+b=0① 4k+b=3②,
②-①得：3k=3,解得：k=1,把k=1代入①得：b=-1,
所以直线PB的方程为：y=x-1,则直线EQ的斜率为1,
则直线EQ的方程为：y=x+m,把E（0,1）代入得：m=1,即直线EQ的方程为：y=x+1,
与抛物线解析式联立消去y得：x+1=1/2x^2-3/2x+1,即x（x-5）=0,解得：x=0或x=5,
把x=5代入直线EQ方程y=x+1得：y=6,故Q（5,6）,
综上,满足题意的Q点的坐标为（4,3）或（5,6）．