为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 00:46:20

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
首先合同是等价关系.可以传递.
每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵.
下证,对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
先证明,对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵.
设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零）,那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵,那么P^TAP也是个对角矩阵,对角线上除了第i个元素其他和A相同,且第i个元素为正负一,且与a同号.依次这么做,A对角线上所有元素可化为正负一以及0.
再证明,对角线上只有正负一以及0的对角矩阵,只要正负一的个数相同就合同.设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A,那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A,恰使得A的对角线上第i和j个元素对调,其他不变,故命题成立.
结合这两点,易得对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
那么现在,
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
这个结论也是显然的了.

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