作业帮曲线微分与积分中无穷小怎么理解?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 20:02:13
曲线微分与积分中无穷小怎么理解?
曲线微分无穷小段可以当作直线对待,但曲线定积分求曲线与x轴所夹面积时曲线无穷小段又被当做点来对待,那到底无穷小微元是线还是点?
曲线微分无穷小段可以当作直线对待,但曲线定积分求曲线与x轴所夹面积时曲线无穷小段又被当做点来对待,那到底无穷小微元是线还是点?
问得不错,楼主的问题,说明楼主在学积分时,不是囫囵吞枣去记去背,
而是仔细地斟酌在不同的情况下,概念、方法的具体含义与差别.
细而入微,这才是微积分的思想：先细微,【微而分之】,然后【积而广之】.
1、计算曲线长度时,把弧长的一个微元当成直线dx,然后运用勾股定理,
(dl)² = (dx)² + (dy)²,如果是三维空间,那就是 (dl)² = (dx)² + (dy)² + (dz)².
【结论】 ：此时的无穷小是线元,也就是线微元.
对于无穷多个长度为无穷小的线微元,积而广之,就得到总长度.
2、计算曲线下的面积时,此时的微元是面微元,是一个个窄窄的、细高的矩形,
也就是一个个竖立的底宽为无穷小dx的长方形,对这些长方形面积求和.
【结论】 ：此时的无穷小是面元,也就是面积的微元.
“点”的值表示的是长方形面积微元的高,长方形的底宽dx是无穷小.
高不是无穷小,是具体的值,底宽是无穷小,面积就是无穷小了.
对于无穷多个面积为无穷小的面微元,积而广之,就得到总面积.
3、计算曲面下的体积时,此时的微元是体微元,是一个个窄窄的、细高的柱体,
也就是一个个竖立的底面积为无穷小dxdy的柱体,对这些柱体的体积求和.
【结论】 ：此时的无穷小是体元,也就是体积的微元.
“点”的值表示的是柱体体积微元的高,柱体的底面积dxdy是无穷小.
高不是无穷小,是具体的值,底面积是无穷小,体积就是无穷小了.
对于无穷多个体积为无穷小的体微元,积而广之,就得到总体积.
【总结论】：
1、微元的概念,确实在改变,也就是无穷小的具体含义确实在改变；
2、计算曲线长度时,无穷小指的是线微元的长度；
计算平面面积时,无穷小指的是面微元的面积,函数值确实是点,是面元的高；
计算空间体积时,无穷小指的是体微元的体积,函数值确实是点,是体元的高.
欢迎追问,欢迎讨论.
而是仔细地斟酌在不同的情况下,概念、方法的具体含义与差别.
细而入微,这才是微积分的思想：先细微,【微而分之】,然后【积而广之】.
1、计算曲线长度时,把弧长的一个微元当成直线dx,然后运用勾股定理,
(dl)² = (dx)² + (dy)²,如果是三维空间,那就是 (dl)² = (dx)² + (dy)² + (dz)².
【结论】 ：此时的无穷小是线元,也就是线微元.
对于无穷多个长度为无穷小的线微元,积而广之,就得到总长度.
2、计算曲线下的面积时,此时的微元是面微元,是一个个窄窄的、细高的矩形,
也就是一个个竖立的底宽为无穷小dx的长方形,对这些长方形面积求和.
【结论】 ：此时的无穷小是面元,也就是面积的微元.
“点”的值表示的是长方形面积微元的高,长方形的底宽dx是无穷小.
高不是无穷小,是具体的值,底宽是无穷小,面积就是无穷小了.
对于无穷多个面积为无穷小的面微元,积而广之,就得到总面积.
3、计算曲面下的体积时,此时的微元是体微元,是一个个窄窄的、细高的柱体,
也就是一个个竖立的底面积为无穷小dxdy的柱体,对这些柱体的体积求和.
【结论】 ：此时的无穷小是体元,也就是体积的微元.
“点”的值表示的是柱体体积微元的高,柱体的底面积dxdy是无穷小.
高不是无穷小,是具体的值,底面积是无穷小,体积就是无穷小了.
对于无穷多个体积为无穷小的体微元,积而广之,就得到总体积.
【总结论】：
1、微元的概念,确实在改变,也就是无穷小的具体含义确实在改变；
2、计算曲线长度时,无穷小指的是线微元的长度；
计算平面面积时,无穷小指的是面微元的面积,函数值确实是点,是面元的高；
计算空间体积时,无穷小指的是体微元的体积,函数值确实是点,是体元的高.
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