关于x的一元二次方程2x²-tx-2=0用两个实根为α、β.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 03:57:40

关于x的一元二次方程2x²-tx-2=0用两个实根为α、β.
1若x1＜x2为区间【α、β】上的两个不同的点,
求证：
(1)x1²+x2²>2x1x2
(2)4x1x2-t(x1+x2)-4

1（1）因为x1<x2,所以x1 - x2 < 0【不等于0】
所以(x1 - x2)^2 >0 展开就是x1^2 + x2^2 -2*x1*x2 > 0
所以x1²+x2²>2x1x2
（2）设F(x)=2x²-tx-2,那么函数图像就如图1所示.
因为抛物线开口向上,x1＜x2为区间【α、β】上的两个不同的点,所以F(x1)<0,F(x2)<0
所以0 > F(x1) + F(x2) = 2(x1^2 + x2^2) - t(x1+x2) - 4
移项：t(x1+x2)+4 > 2(x1^2+x2^2)
根据（1）的结论,2(x1^2+x2^2)>4x1x2
所以t(x1+x2)+4 > 4x1x2
移项后得证
2、f(x)的一阶导数f'(x)=-2*(2x^2 - tx -2)/(x^2 + 1)^2
f'(x)的分母恒大于0,分子为正的部分正好是【α、β】.
所以f'(x)在区间【α、β】上恒大于0
所以f(x)在区间【α、β】上单调递增
所以A=f(β)=(4β-t)/(β^2 +1),B=f(α)=(4α-t)/(α^2 +1)
g(t)=A-B=[4αβ(α-β)-4(α-β)-t(α-β)(α+β)]/(α^2β^2+α^2+β^2+1)
因为α、β是方程的两个根,所以α+β=t/2,α*β=-1
α-β=-sqrt(α^2 + β^2 -2αβ)=-sqrt[(α+β)^2-4αβ]=-[sqrt(t^2+16)]/2
带入g(t)=sqrt(t^2 +16)
又因为方程有两个实根,所以delt=t^2 +16 恒大于0
所以g(t)最小值为t=0时g(0)=4

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