中值定理证明函数f(x)在【0,1】连续,在（0,1）可导,f（0）=0,且在（0,1）内f（x）!=0.证明至少存在一

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 08:14:28

中值定理证明
函数f(x)在【0,1】连续,在（0,1）可导,f（0）=0,且在（0,1）内f（x）!=0.证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ)

设g(x) = [f(x)]^3[f(1-x)]^4
则,g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.
g(0) = [f(0)]^3[f(1)]^4 = 0,
g(1) = [f(1)]^3[f(0)]^4 = 0 = g(0).
g'(x) = 3[f(x)]^2f'(x)[f(1-x)]^4 + 4[f(x)]^3[f(1-x)]^3f'(1-x)(-1)
= [f(x)]^2[f(1-x)]^3{3f'(x)f(1-x) - 4f(x)f'(1-x)}
由罗尔中值定理,至少存在一点ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3{3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ)} = 0,
但由于,在（0,1）内f（x）!=0.
因此,[f(ξ)]^2[f(1-ξ)]^3 不等于0,
故,必有,
3f'(ξ)f(1-ξ) - 4f(ξ)f'(1-ξ) = 0,
成立.
也就是,
3f'(ξ)f(1-ξ) = 4f(ξ)f'(1-ξ),
因此,有
3f'(ξ)/f(ξ) = 4f'(1-ξ)/f(1-ξ).
所以命题得证.

中值定理证明函数f(x)在【0,1】连续,在（0,1）可导,f（0）=0,且在（0,1）内f（x）!=0.证明至少存在一微分中值定理证明问题已知函数f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,f(0)=1,求证：在（0,1）内至少存在一中值定理证明题设函数F（X）在[A B]上连续,在（A B）内可导,且F(A)=F(B)=0,试证明（A B)内至少存在拉格朗日中值定理证明题且在(0,1)上连续且可倒证明至少存在一个ξ 使f(x)'=2ξ(f(1)-f(0)) 成立设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1）内可导,且f(1)=0,证明在（0,1）内至少存在一点&, 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明(1)在(0,1)内至少存在一点ξ, 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点ξ∈（0,1）,使f( 微分中值定理应用设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0证明:至少存在一点X属于(0,1 中值定理证明设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’(g 求教一个微分中值定理的证明题 f(x)在[0,1]可导,f(1)=f(0)=0 证明存在n属于（0,1）使得f(n)+n f(x)在(a,b)内连续且可导 ,且f(a)=f(b)=0,证明在区间（a,b）至少存在一点r,使得f'(r)=f(r 是一道关于微分中值定理的证明题,设函数f（x）在区间[0,3]上连续,在（0,3）内可导,且f(0)+ f(1)+ f(