一道函数值域题y=根号（x-4）+根号(15-3x) 求值域 单调性更一般的y=m*根号（ax+b）+n*根号(cx+d

一道函数值域题
y=根号（x-4）+根号(15-3x) 求值域 单调性
更一般的
y=m*根号（ax+b）+n*根号(cx+d)
求值域 单调性
向量法?
或其他
有没有简便一点的？
老师说了一个 什么向量法
光提了个名字 说碰着再说
怎么用向量法解呢
用导数貌似也很复杂啊？

先说原题：
y=根号（x-4）+根号(15-3x)
=>
定义域为[4,5]
...
...
y
=根号（x-4）+根号(15-3x)
=根号（x-4）+根号3*根号(5-x)
其中
系数分别为1、根号3
而
两个根号函数的关系为
[根号（x-4）]^2+[根号(5-x)]^2=1
故可设
根号（x-4）=sina;
根号(5-x)=cosa.
且满足00
=>
两者都是增函数(“两者”指前后两个带外侧系数的根号函数)
=>
y为增函数
且
x的定义域只有左端最小值的限制
=>
显然没有最大值（正无穷）
最小值就是定义域的最小值x所对应的y的函数值
举例：
y=根号（x-4）+根号(3x-15)
=>
x=5时有最小值
2、m
x=4时有最大值
3、m>0,a>0;n
y为增函数
且
x的定义域只可能是空集或两端皆受限制的定义域
=>
显然没有最值或存在两端皆受限制的值域
最大、小值就是定义域的最大、小值x所对应的y的函数值
举例一：
y=根号（x-3）-根号(6-3x)
=>
x空集,y无对应值域
举例二：
y=根号（x-2）-根号(6-2x)
=>
定义域为：[2,3],直接分别代入2、3即可球的最大最小值.
...
...
...
以上三种的共同性质就是y始终为增函数
其值域可直接由x的定义域的两端判断
类似的
y始终为减函数的情况
这里就不再多说了
...
...
...
而
当前后两者一增一减时：
1、m>0,a>0,n>0,c
根号（x-4）=psina=2sina;
根号（5-x）=2cosa;
以下略
...
2、m>0,a>0;n0
用举例来说明吧：
举例一：
设提取x的系数后
根号外侧系数相同
如
根号(x-3)-根号(x-5)
则
根号(x-3)-根号(x-5)
=[根号(x-3)-根号(x-5)]*[根号(x-3)+根号(x-5)]/[根号(x-3)+根号(x-5)]
=[(x-3)-(x-5)]/[根号(x-3)+根号(x-5)]
=2/[根号(x-3)+根号(x-5)]
其中
分母部分的最值求法已有
故可求得原函数最值
举例二：
设提取x的系数后
根号外侧系数不同
如
3根号(x-1)-根号(x-5)
前后根号函数的关系为
[根号(x-1)]^2-[根号(x-5)]^2=(x-1)-(x-5)=4
=>
{[根号(x-1)]/2}^2-{[根号(x-5)]/2}^2=1
类似的,由
(secx)^2-(tgx)^2=1
可设
[根号(x-1)]/2=seca
[根号(x-5)]/2=tga
于是
原式化为：
y
=3*2seca-2tga
=2*(3/cosa-tga)
=2*(3-sina)/cosa
这也是一个三角函数值域问题
应该没问题了,我就不多说了
这里万一有问题的话
可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/54775773.html
这是我对另外一道类似的三角函数值域的解答
...
...
...
以上两个举例在于外侧系数的等同于否
综上
拿到题目
1、先求定义域
2、判断前后两者增减性
1)若相同,则根据定义域两端求值域的两端.
2)若不同,继续判断外侧系数是否同正负
1>若相同,则提取系数,用正弦余弦变换
2>若不同,继续判断外侧系数绝对值是否相同
1》若相同,则用分子分母法对分子消元,求分母最值
2》若不同,则提取系数,用正切正割函数做变换
...
...
另外
补充一句
以上皆为高中内容的算法
如果你会用求导方法的话
两步就都解决了
没我说的这一堆东西这么麻烦
既然你欣赏向量法的解题方法
那我简单解释一下具体做法：
...
其实是你对我的回答的
最一开始的原题的解法没有深入理解
（不妨再可以看一下本回答的最前面的部分）
最终把原式化作：
原式
=sina+根号3*cosa
=2sin(a+60)
其中
根号（x-4）=sina
换一种写法也就是：
原式
=1*sina+根号3*cosa
=向量（1,根号3）*向量（sina,cosa）
=向量（1,根号3）*向量（根号(x-4),根号(5-x)）
=【向量（1,根号3）的模】*【向量（根号(x-4),根号(5-x)）的模】*cos【向量夹角A】
其中
前一个向量已定,模为2
后一个响亮模为1,
但并不是一个单位圆
此题中是位于第一象限的一个四分之一圆（取决于x的取值范围）
于是
夹角A也并非任意角,有一定范围（其实就是a）
于是
两向量同向时（夹角最小时）,有最大值,就是2
夹角最大时为最小值.
向量法,ok了吧?
最后在补充两句：
1、类似于我对原题的解法：凡是有(sin,cos),就意味着可以用向量法,也就是说,此时向量法和三角函数法几乎没有意义上的区别.
2、由于需要向量相乘的代数式形式,因此向量法好像只适用于此题,你的其他延伸问题可能还得参考我给你的方法做（或求导）