作业帮基本不等式 (3 13:33:47)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 18:00:17
基本不等式 (3 13:33:47)
求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
求函数f(x)=(ex-a)2+(e-x-a)2(0＜a＜2)的最小值
f(x)=e²x²-2aex+a²+x²+2(a-e)x+(a-e)²
=(e²+1)x²+(2a-2e-2ae)x+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1){x²+(2a-2e-2ae)x/(e²+1)+[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²}-(e²+1)[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1)[x²+(a-e-ae)/(e²+1)]²-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
所以最小值=-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
=(a²e²+a²-2ae³+e^4+2a²e-2ae²)/(e²+1)
=(e²+1)x²+(2a-2e-2ae)x+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1){x²+(2a-2e-2ae)x/(e²+1)+[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²}-(e²+1)[(2a-2e-2ae)/2(e²+1)]²+(2a²-2ae+e²)
=(e²+1)[x²+(a-e-ae)/(e²+1)]²-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
所以最小值=-(a-e-ae)²/(e²+1)+(2a²-2ae+e²)
=(a²e²+a²-2ae³+e^4+2a²e-2ae²)/(e²+1)