设n是正整数,如果在包含2009在内的2n+1个连续的正整数中,前n+1个数的平方和等于后n个数的平方和,求n的值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 17:41:54

假设从X-1开始【为了后面2N项壹壹对应的方便】的2N+1个数,有:
(X-1)² + X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² = (X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)²
即有末N项-往前N项=第一项：
(X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)² - [ X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² ] = (X-1)²
即有N项壹壹对应：
[ (X+N)² - X² ] + [ (X+N+1)² - (X+1)² ] + …… + [ (X+2N-1)² - (X+N-1)² ]
= (2X+N)*N + (2X+N+2)*N + …… + (2X+3N-2)*N
= N * [2*N*X + (N + N+2 + N+4 + …… + 3N-2) ]
= N * [2*N*X + (2N-1)N ]
= N²* [2X + (2N-1) ] = (X - 1)²
显然,[2X + (2N-1) ]必是完全平方数,令[2X + (2N-1) ] = T² ,有
N² * T² = (X - 1)²
N *T = X - 1
X = NT + 1
将此X的形式代入[2X + (2N-1) ] = T² ：
2NT + 2 + 2N - 1 = T² 化简整理得：
T² - 2N *T - (2N + 1) = 0
解得T = 2N + 1,T = -1(舍弃)
因此有：
X = N*(2N+1) + 1 = 2N² + N + 1
因此由2009在此2N+1个数范围内,得到不等式：
2N² + N≤ 2009 ≤2N² + N + 1+2N-1
即 2N² + N≤ 2009 ≤2N² + 3N
解得唯一的整数解N = 31,则X = 1954
即从X-1=1953开始的2N+1=63个数,前32个数的平方和等于后31个数.

设n是正整数,如果在包含2009在内的2n+1个连续的正整数中,前n+1个数的平方和等于后n个数的平方和,求n的值 n是大于2的自然数，如果有n个正整数的和等于这n个正整数的积，那么在这n个数中至少有______个数是1． 1.(1)求正整数列前n个偶数的和（2）求正整数列前n个奇数的和（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求他使得2n+1整除n的立方+2的正整数n的个数是 n个数的平方和表达式是什么? 使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2个正整数平方和的自然数n（　　）求正整数列中前N个数的和怎样求前n-1个自然数的平方和 5个连续正整数；前3个数的平方和比后两个数的积小1,求这5个连续正整数求教~~设计C++算法:一个正整数n,计算1到n的平方和. 请写出一个由7个连续正整数组成,前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式. 5个联续正整数,前3个数的平方和比后两个数的积小1,求这5个连续正整数