作业帮关于原函数是周期函数,那么它的导数也是周期函数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 16:16:16
关于原函数是周期函数,那么它的导数也是周期函数
我知道有一种证明方法即：
f(x+T)=f(x)
两边求导：
f'(x+T)=f'(x)
但我不明白它这边f'(x+T)是对x求导,还是对x+T求导.
我知道有一种证明方法即：
f(x+T)=f(x)
两边求导：
f'(x+T)=f'(x)
但我不明白它这边f'(x+T)是对x求导,还是对x+T求导.
当然是对x求导.
[f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T),这是一个复合函数求导.
再问： f(x+T)=f(x）是数值上相等，两个的方程式是不相等的，那么具体到同一个x上，两者的导数能相等吗
再答： 不论是否是周期函数，只要T是常数，f(x+T)的导数都是f'(x+T)。 举个简单例子：f(x)=x²，f'(x)=2x,则f'(x+T)=2(x+T)， 另一方面，f(x+T)=x²+2Tx+T²，对x求导，得 f'(x+T)=2x+2T=2(x+T)。 由于[f(x+T)]'=f'(x+T) 从而对周期函数来说， 由f(x+T)=f(x)，可以得出f'(x+T)=f(x)
再问： 我换一句话问吧，就是f(x+T)和f(x）是同一个函数吗
再答： 1、对于周期函数，有f(x+T)=f(x)，当然，此时f(x)与f(x+T)是同一函数； 2、对于非周期函数，由于不存在非零常数T，使f(x+T)=f(x)对于定义域内的每一个x都成立， 从而 y=f(x+T)和y=f(x)是两个不同的函数。
再问： 就是说对于周期函数，f'(x+T)和f'(x)都是同一函数对同一x求导，故二者相等。
再答： 完全正确。
再问： 那么对于f(x+T)=f(x) 我们是因为二者相等，故先推出其函数图象相同，再推出它们在同一x上的导数相同。还是因为这二者相等，便直接得出其在同一x上的导数相同？我知道这么问很烦，但我想在逻辑链上有一个清醒的认识。 当然会不会有两函数在同一x上y值相等，但其中一个函数在某一x0上却不可导的情况。
再答： 1.对于周期函数来说，没有可能。由于f(x+T)=f(x)， 从而，y=f(x+T)和y=f(x)是同一个函数，而不是两个函数。 2.对于其它函数，可能存在这种情况。 如f(x)=x²+1和g(x)=|x|+1，易知f(0)=g(0)，而f'(0)=1，g'(0)不存在。
[f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T),这是一个复合函数求导.
再问： f(x+T)=f(x）是数值上相等，两个的方程式是不相等的，那么具体到同一个x上，两者的导数能相等吗
再答： 不论是否是周期函数，只要T是常数，f(x+T)的导数都是f'(x+T)。 举个简单例子：f(x)=x²，f'(x)=2x,则f'(x+T)=2(x+T)， 另一方面，f(x+T)=x²+2Tx+T²，对x求导，得 f'(x+T)=2x+2T=2(x+T)。 由于[f(x+T)]'=f'(x+T) 从而对周期函数来说， 由f(x+T)=f(x)，可以得出f'(x+T)=f(x)
再问： 我换一句话问吧，就是f(x+T)和f(x）是同一个函数吗
再答： 1、对于周期函数，有f(x+T)=f(x)，当然，此时f(x)与f(x+T)是同一函数； 2、对于非周期函数，由于不存在非零常数T，使f(x+T)=f(x)对于定义域内的每一个x都成立， 从而 y=f(x+T)和y=f(x)是两个不同的函数。
再问： 就是说对于周期函数，f'(x+T)和f'(x)都是同一函数对同一x求导，故二者相等。
再答： 完全正确。
再问： 那么对于f(x+T)=f(x) 我们是因为二者相等，故先推出其函数图象相同，再推出它们在同一x上的导数相同。还是因为这二者相等，便直接得出其在同一x上的导数相同？我知道这么问很烦，但我想在逻辑链上有一个清醒的认识。 当然会不会有两函数在同一x上y值相等，但其中一个函数在某一x0上却不可导的情况。
再答： 1.对于周期函数来说，没有可能。由于f(x+T)=f(x)， 从而，y=f(x+T)和y=f(x)是同一个函数，而不是两个函数。 2.对于其它函数，可能存在这种情况。 如f(x)=x²+1和g(x)=|x|+1，易知f(0)=g(0)，而f'(0)=1，g'(0)不存在。