如图,已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 04:40:42

如图,已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.
（1）如图1,若点P是边BC的中点,此时h₃=0,可得结论：h₁+h₂+h₃=h．请说明理由
（2）如图2,若点p在边BC的延长线上,此时h3-0,试探究h1,h2,h3之间的关系,并说明理由
（3）如图（3）,点P在△ABC外,请猜想h1,h2,h3之间的关系（不用说明理由）

（1）第一题图

（2）第二题图

（3）第三题图

（1）图②-⑤中的关系依次是：
h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（4分）
（2）图②中,h1+h2+h3=h．
证法一：
∵h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,（6分）
∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．（8分）
证法二：连接AP,则S△APB+S△APC=S△ABC．（6分）
∴
1
2
AB×h1+
1
2
AC×h2=
1
2
BC×h．
又h3=0,AB=AC=BC,
∴h1+h2+h3=h；（8分）
证明：（3）图④中,h1+h2+h3=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中,由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．
∴h1+h2+h3=h．（10分）
说明：（2）与（3）问,通过作辅助线,利用证全等三角形的方法类似给分；
（4）由（3）可知：h1+h3+h4=
mh
m-n
这是我在静心思考后得出的结论,
如果不能请追问,我会尽全力帮您解决的~
如果您有所不满愿意,请谅解~