为什么不同特征值的特征向量线性无关?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 12:30:32

为什么不同特征值的特征向量线性无关?

这个问题你可以作为一道证明题来做：
证明不同特征值对应的特征向量线型无关.
设x1,x2 是A的两个不同的特征值；n1,n2分别为其对应的特征向量.
设存在实数k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;
易证不同特征值对应的特征向量线型无关.
还可以从特征值和特征向量的定义式看：
An1=x1*n1;An2=x2*n2
A 为矩阵； x1,x2为特征值；n1,n2为其对应的特征向量
若n2与n1 线性相关,则n2= b*n1 带入An2=x2*n2得到：
b*An1=b*x1*n1 ;也即An1=x1*n1
得到特征值x2的存在是没有意义的,或者说是和x1相等的.
与已知他们是两个不同的特征值是矛盾的.
所以：n2与n1 线性相关的假设是错误的.

为什么不同特征值的特征向量线性无关? 不同特征值的特征向量线性无关吗为什么分属于不同特征值的特征向量就线性无关呢? 为什么一个特征值不能对应两个线性无关的特征向量? 为什么不同特征值对应的特征向量一定线性无关?还有怎么判断一个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量? 同一个特征值的特征向量线性无关? 求特征值及特征值对应的线性无关特征向量, 一个矩阵的不同特征值的特征向量之间是线性无关的吗? 一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关,错的,如何证明? 不同特征值对应的特征向量组成的向量组线性无关怎么证明任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的特征值不同,其所对的特征向量线性无关,有什么几何意义