作业帮证明：1/(n+1)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 00:30:51
证明：1/(n+1)
方法一（微分）：
定义f(x)=ln(1+x)-x,则f(x)在x>-1时连续,且
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),
所以当x>0时f'(x)0时f(x)0,所以
0>f(1/n)=ln(1+1/n)-1/n=ln[(n+1)/n]-1/n=ln(n+1)-ln(n)-1/n,
所以ln(n+1)-ln(n)-1时连续,且
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2,
所以当x>0时g'(x)>0,g(x)严格单调递增；
所以当x>0时g(x)>g(0)=ln1+1-1=0.
特别地1/n>0,所以
01/(n+1)
方法二（积分）：
对n
定义f(x)=ln(1+x)-x,则f(x)在x>-1时连续,且
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),
所以当x>0时f'(x)0时f(x)0,所以
0>f(1/n)=ln(1+1/n)-1/n=ln[(n+1)/n]-1/n=ln(n+1)-ln(n)-1/n,
所以ln(n+1)-ln(n)-1时连续,且
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2,
所以当x>0时g'(x)>0,g(x)严格单调递增；
所以当x>0时g(x)>g(0)=ln1+1-1=0.
特别地1/n>0,所以
01/(n+1)
方法二（积分）：
对n