已知弧长3米和弦长2.6米,求弦到弧顶的高度

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 19:54:49

楼上提供了excel求解的方法,我就不重复了,说一下利用逻辑推导和计算器简单运算的方法
设弧长为L,弦长为M,所求高度为h
又设所求弦和弧所对圆心角为2α,圆半径为r；
由弧长公式：弧长=圆心角×半径,得到方程I：2αr=L；
首先考虑圆心角小于π的情形：
弦长公式：弦长=2×半径×sin(圆心角/2),得到方程II：2rsinα=M；
又因为弦到弧顶的高度=半径-半径×cos(圆心角/2),所以可方程h=r(1-cosα)；
其次考虑圆心角大于π的情形：
此时弦长公式变为：弦长=2×半径×sin(π-圆心角/2),仍得到方程II：2rsinα=M；
但弦到弧顶的高度变为：h=r[1-cos(π-α)]=r(1+cosα)
综合以上两种讨论,本题就变成一个关于h,r,α的三元方程组：
h=r(1+ -cosα) (1)
2αr=L (2)
2rsinα=M (3)
将(2)式稍作变形：α=L/2r,两边取正弦,sinα=sin(L/2r) (4)
将(4)式代入(3)式：2rsin(L/2r)=M即sin(L/2r)=(M/L)(L/2r) (5)
将方程(5)作换元：x=L/2r,则方程变为sinx=(M/L)x (6)
下面来解方程(6)：
由于当x=π/2时,(M/L)x>1,而1=sinx,所以可以根据图像判断方程在正数范围内只有一个解且这个解在(0,π/2)的范围内.由此可以用二分法逐步逼近,解得x≈0.91
因为x=L/2r,所以r≈1.648
又因为2αr=L,所以α≈0.91(弧度),故cosα≈0.614
所以h=r(1+ -cosα)=1.648×(1+ -0.614）,
即所求高度为2.66米或0.64米

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