关于线性代数问题,设二次型f(x1,x2,x3)=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 12:06:00
关于线性代数问题,
设二次型f(x1,x2,x3)=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x3的矩阵是奇异矩阵.1)求二次型矩阵A和t的值;2)根据t的值,求一个可逆矩阵P和一个对角矩阵Λ,使得P-1 A P= Λ ;3)求A^n .(n>=2) 【P-1 表示P的逆矩阵】
设二次型f(x1,x2,x3)=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x3的矩阵是奇异矩阵.1)求二次型矩阵A和t的值;2)根据t的值,求一个可逆矩阵P和一个对角矩阵Λ,使得P-1 A P= Λ ;3)求A^n .(n>=2) 【P-1 表示P的逆矩阵】
(1) 二次型的矩阵 A =
1 t 1
t 2 0
1 0 1
由A奇异知 |A| = 0.
而 |A| = -t^2
所以 t=0
(2) 此时 A=
1 0 1
0 2 0
1 0 1
|A-λE|=-λ(λ-2)^2.
所以A的特征值为 λ1=0,λ2=λ3=2.
对λ1=0,AX=0的基础解系为:a1=(1,0,-1)'
对λ2=λ3=2,(A-2E)X=0的基础解系为:a2=(0,1,0)',a3=(1,0,1)'
令P=(a1,a2,a3),Λ=diag(0,2,2)
则P可逆,且 P^-1AP = Λ.
(3) A^n = (PΛP^-1)^n = PΛ^nP^-1 = Pdiag(0,2^n,2^n)P^-1 =
2^(n-1) 0 2^(n-1)
0 2^t 0
2^(n-1) 0 2^(n-1)
哈哈 一分都不出你哈
1 t 1
t 2 0
1 0 1
由A奇异知 |A| = 0.
而 |A| = -t^2
所以 t=0
(2) 此时 A=
1 0 1
0 2 0
1 0 1
|A-λE|=-λ(λ-2)^2.
所以A的特征值为 λ1=0,λ2=λ3=2.
对λ1=0,AX=0的基础解系为:a1=(1,0,-1)'
对λ2=λ3=2,(A-2E)X=0的基础解系为:a2=(0,1,0)',a3=(1,0,1)'
令P=(a1,a2,a3),Λ=diag(0,2,2)
则P可逆,且 P^-1AP = Λ.
(3) A^n = (PΛP^-1)^n = PΛ^nP^-1 = Pdiag(0,2^n,2^n)P^-1 =
2^(n-1) 0 2^(n-1)
0 2^t 0
2^(n-1) 0 2^(n-1)
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关于线性代数问题,设二次型f(x1,x2,x3)=x1*x1+2*x2*x2+x3*x3+2*t*x1x2+2*x1*x
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