设积分域D是以原点为中心,半径为r的圆域,求lim1/πr^2∫∫e^(x^2+y^2)cos(x+y)dxdy

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 05:15:13

设积分域D是以原点为中心,半径为r的圆域,求lim1/πr^2∫∫e^(x^2+y^2)cos(x+y)dxdy
极限r趋于0

用二重积分的中值定理即可,定理是说∫∫f(x,y)dxdy=f(x0,y0)*S,(x0,y0)为D内某一点,S为积分区域D的面积.本题中∫∫e^(x^2+y^2)cos(x+y)dxdy=[e^(x0^2+y0^2)cos(x0+y0)]*(πr^2),当r趋于0时,点(x0,y0)趋于(0,0),因此所求极限=e^(0^2+0^2)cos(0+0)=1
再问：还有其他方法吗？不用中值定理，求偏导的方法怎么做？
再答：为啥不用中值定理呢？呵呵，这题和偏导没什么关系，用极坐标也许可以，但是也麻烦，比如中值定理方便。

设积分域D是以原点为中心,半径为r的圆域,求lim1/πr^2∫∫e^(x^2+y^2)cos(x+y)dxdy 求二重积分∫∫根号下（R^2 -X^2-Y^2）dxdy,其中积分区域D为圆周X^2+Y^2=RX. ∫∫(4-x-y)dxdy积分区域D为x^2+y^2 计算二重积分∫∫1/(x^2+y^2+R^2)dxdy,其中D为x^2+y^2 设区域D是x^2+y^2≤1与x^2+y^2≤2x的公共部分,试写出∫∫f(x,y)dxdy在区域D,极坐标下先对r积分二重积分的题∫∫(R^2-x²-y²)dxdy=(2/3)π ,D的范围是x^2+y^20求R答案是利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算∫∫(x∧3cos(y∧2)+y)dxdy,积分区域D为曲线y=x∧2,y=4 以原点为圆心,r为半径的圆的方程是x^2+y^2=r^2 设T1=∫∫(x+y)^2dxdy T2=∫∫(x+y)^3dxdy 其中D为(x-2)^2+(y-1)^2 设I=二重积分∫∫ln(x^2+y^2+1)dxdy,其中D为圆域x^2+y^2 化为极坐标形式的二次积分∫∫f（x,y）dxdy,D为x^2+y^2≦2x 计算lim(r->0)[1/∏r²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy,其中D