怎样理解函数与方程,不等式的联系?

怎样理解函数与方程,不等式的联系?

答：数与代数学习的主要内容有：数的概念、数的运算,字母表示数、代数式及其运算,方程、方程组、不等式、函数等内容.其中数的概念是学生在小学学习自然数、分数、小数基础上从有理数开始的,从有理数逐步扩充到无理数、实数,学生将不断增加对数的理解和运用.数和数之间要进行加、减、乘、除、乘方和开方等运算,所以数的运算也伴随着数的形成与发展不断丰富,从字母的引入,用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母而形成代数式和方程,代数式和方程是数及运算的进一步抽象,也是数与运算的再一次结合和应用. 函数关系是指某个变化过程中两个变量具有某种对应关系.方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体,它是从已知探索未知的桥梁.从分析问题的数量关系入手,抓住函数关系或等量关系运用数学语言将函数或等量关系转化为函数式或方程与未知量的限制条件,再通过利用函数的性质或方程理论使问题获得解决的思想方法,就称为函数与方程的思想.用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母而成的式子称为代数式,如果代数式里的字母用指定的数去代替,再依据代数式所表示的运算进行计算,所得的结果称为代数式的值.代数式加上未知数构成等式就是方程,方程是初中代数的一个重点.它是刻画数量关系、分析解决实际问题的重要数学模型,有着极其广泛的应用,是代数的核心内容之一.方程用以表示含有未知数的数量间的等量关系,是含有未知数的等式.函数是研究运动变化的重要数学模型,它与方程模型相比区别在于,它所刻画的是变量之间的变化关系,而方程所刻画的是常量之间的固定关系.函数是一种具有普遍意义的数学模型,在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用.函数是研究运动变化的重要数学模型,与实际的联系十分紧密,它来源于实际又服务于实际,是从实际中抽象出函数的有关概念,又运用函数性质解决实际问题,这是贯穿于函数的主线.一、函数与方程的关系 (一)从关系式上看. 一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式.同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式. (二)从函数的图象与方程的解来看. 一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根.换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标.二、函数与二元一次方程组的关系 当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式.其解恰好为这两个一次函数图象交点的横坐标.三、一次函数与一元一次不等式的关系 (一)从关系式上看. 一次函数y=ax+b(a≠0)与一元一次不等式ax+b>0(a ≠0)或ax+b0)时其解集为相对应直线y=ax+b在x轴上方的那条射线上的无数点的横坐标.当ax+b≤0(a>0)时其解集为相对应直线y=ax+b在x轴下方的那条射线上的无数点的横坐标.四、二次函数与一元二次不等式的关系 (一)从关系式上看. 二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次不等式的一般形式为ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c0)与x轴无交点时,相对应不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为全体实数,而不等式ax2+bx+c0)的解集为空集;②当抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有一个交点时,相对应不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为除了抛物线与x轴的交点以外的所有点的横坐标,而不等式ax2+bx+c0)的解集为空集;③当抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点时,相对应不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为在x轴上方的那两条曲射线上的无数点的横坐标(交点除外),而不等式ax2+bx+c0)的解集为在x轴下方的那条曲线段上的无数点的横坐标(交点除外).当抛物线y=ax2+bx+c(a0(a>0)的解集为空集,而不等式ax2+b0)的解集为全体实数;当抛物线y=ax2+bx+c(a0(a>0)的解集为空集,而不等式ax2+bx+c0)的解集为除了抛物线与x轴的交点以外的所有点的横坐标;当抛物线y=ax2+bx+c(a0(a>0)的解集为在x轴上方的那条曲线段上的无数点的横坐标(交点除外).